Pré-calcul Exemples

$x^{3} - 3 x^{2} - 25 x + 75$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15, \pm 25, \pm 75$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15, \pm 25, \pm 75$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(3)}^{3} - 3 {(3)}^{2} - 25 \cdot 3 + 75$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 3$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 - 3 {(3)}^{2} - 25 \cdot 3 + 75$

Étape 4.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$27 - 3 \cdot 9 - 25 \cdot 3 + 75$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$27 - 27 - 25 \cdot 3 + 75$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 25$ par $3$ .

$27 - 27 - 75 + 75$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $27$ de $27$ .

$0 - 75 + 75$

Étape 4.2.2

Soustrayez $75$ de $0$ .

$- 75 + 75$

Étape 4.2.3

Additionnez $- 75$ et $75$ .

$0$

Étape 5

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 25 x + 75}{x - 3}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 3)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$
	$1$	$0$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 25)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$
	$1$	$0$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 25)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(- 75)$ sous le terme suivant dans le dividende $(75)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$	$- 75$
	$1$	$0$	$- 25$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$	$- 75$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{2} + 0 x - 25$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{2} - 25$

Étape 7

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$(x - 3) x^{2} - 5^{2}$

Étape 8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$(x - 3) (x + 5) (x - 5)$

Étape 9

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{3} - 3 x^{2}) - 25 x + 75 = 0$

Étape 9.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (x - 3) - 25 (x - 3) = 0$

Étape 9.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{2} - 25) = 0$

Étape 9.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$(x - 3) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Étape 9.4

Factorisez.

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Étape 9.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$(x - 3) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Étape 9.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 3) (x + 5) (x - 5) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 11

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 12

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 12.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 13

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 13.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 5) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = 3, - 5, 5$

Étape 15