Pré-calcul Exemples

$x^{4} - x^{3} - 11 x^{2} - x - 12$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(- 3)}^{4} - {(- 3)}^{3} - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 3$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$81 - {(- 3)}^{3} - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

Étape 4.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$81 - - 27 - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 27$ .

$81 + 27 - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

Étape 4.1.4

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$81 + 27 - 11 \cdot 9 - (- 3) - 12$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 11$ par $9$ .

$81 + 27 - 99 - (- 3) - 12$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$81 + 27 - 99 + 3 - 12$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $81$ et $27$ .

$108 - 99 + 3 - 12$

Étape 4.2.2

Soustrayez $99$ de $108$ .

$9 + 3 - 12$

Étape 4.2.3

Additionnez $9$ et $3$ .

$12 - 12$

Étape 4.2.4

Soustrayez $12$ de $12$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - x^{3} - 11 x^{2} - x - 12}{x + 3}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(- 3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$
	$1$	$- 4$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 4)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(12)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 11)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(- 3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$
	$1$	$- 4$	$1$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 4)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(12)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (1) x - 4$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} - 4 x^{2} + x - 4$

Étape 7

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 3) (x^{3} - 4 x^{2}) + x - 4$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 3) + x^{2} (x - 4) + 1 (x - 4)$

$(x + 3) x^{2} (x - 4) + 1 (x - 4)$

Étape 8

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 4$ .

$(x + 3) (x - 4) (x^{2} + 1)$

Étape 9

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Regroupez les termes.

$- x^{3} - x + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Étape 9.2

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{3} - x$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} - x + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Étape 9.2.2

Factorisez $- x$ à partir de $- x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 1 + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Étape 9.2.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x^{2}) - x (1)$ .

$- x (x^{2} + 1) + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Étape 9.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Étape 9.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- x (x^{2} + 1) + u^{2} - 11 u - 12 = 0$

Étape 9.5

Factorisez $u^{2} - 11 u - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 12, 1$

Étape 9.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- x (x^{2} + 1) + (u - 12) (u + 1) = 0$

Étape 9.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1) = 0$

Étape 9.7

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $- x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1)$ .

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Étape 9.7.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $- x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1) = 0$

Étape 9.7.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} - 12) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} + 1) (x^{2} - 12) = 0$

Étape 9.7.3

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} + 1) (x^{2} - 12)$ .

$(x^{2} + 1) (- x + x^{2} - 12) = 0$

Étape 9.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} + 1) (- u + u^{2} - 12) = 0$

Étape 9.9

Factorisez $- u + u^{2} - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 9.9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x^{2} + 1) ((u - 4) (u + 3)) = 0$

Étape 9.10

Factorisez.

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Étape 9.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} + 1) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Étape 9.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 1) (x - 4) (x + 3) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 11

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 11.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 11.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 11.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 11.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 12

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 13

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 1) (x - 4) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = i, - i, 4, - 3$

Étape 15