Pré-calcul Exemples

$x^{5} - x^{4} - x^{3} + x^{2} - 12 x + 12$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(1)}^{5} - {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 1 \cdot 1 - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - 1 - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Étape 4.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 1 - 1 \cdot 1 + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - 1 - 1 + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Étape 4.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 1 - 1 + 1 - 12 \cdot 1 + 12$

Étape 4.1.7

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$1 - 1 - 1 + 1 - 12 + 12$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0 - 1 + 1 - 12 + 12$

Étape 4.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1 + 1 - 12 + 12$

Étape 4.2.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0 - 12 + 12$

Étape 4.2.4

Soustrayez $12$ de $0$ .

$- 12 + 12$

Étape 4.2.5

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$0$

Étape 5

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{5} - x^{4} - x^{3} + x^{2} - 12 x + 12}{x - 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$
	$1$	$0$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$
	$1$	$0$	$- 1$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$

Étape 6.11

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 12)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 12)$ sous le terme suivant dans le dividende $(12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$

Étape 6.12

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$	$0$

Étape 6.13

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{4} + 0 x^{3} - 1 x^{2} + 0 x - 12$

Étape 6.14

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{4} - x^{2} - 12$

Étape 7

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x - 1) {(x^{2})}^{2} - x^{2} - 12$

Étape 8

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$(x - 1) u^{2} - u - 12$

Étape 9

Factorisez $u^{2} - u - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 1) + (u - 4) (u + 3)$

$(x - 1) (u - 4) (u + 3)$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} - 4) (x^{2} + 3)$

Étape 11

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 3)$

Étape 12

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x - 1) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)$

Étape 13

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 13.1

Regroupez les termes.

$x^{5} - x^{3} - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Étape 13.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} - x^{3} - 12 x$ .

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Étape 13.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Étape 13.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Étape 13.2.3

Factorisez $x$ à partir de $- 12 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 12 - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Étape 13.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12 - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Étape 13.2.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12$ .

$x (x^{4} - x^{2} - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Étape 13.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Étape 13.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (u^{2} - u - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Étape 13.5

Factorisez $u^{2} - u - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 13.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 13.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x ((u - 4) (u + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Étape 13.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Étape 13.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Étape 13.8

Factorisez.

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Étape 13.8.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Étape 13.8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Étape 13.9

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - {(x^{2})}^{2} + x^{2} + 12 = 0$

Étape 13.10

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + u + 12 = 0$

Étape 13.11

Factorisez par regroupement.

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Étape 13.11.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 13.11.1.1

Multipliez par $1$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + 1 u + 12 = 0$

Étape 13.11.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 3$ plus $4$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + (- 3 + 4) u + 12 = 0$

Étape 13.11.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} - 3 u + 4 u + 12 = 0$

Étape 13.11.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 13.11.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} - 3 u + 4 u + 12 = 0$

Étape 13.11.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + u (- u - 3) - 4 (- u - 3) = 0$

Étape 13.11.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u - 3$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- u - 3) (u - 4) = 0$

Étape 13.12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x^{2} - 4) = 0$

Étape 13.13

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 13.14

Factorisez.

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Étape 13.14.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 13.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 13.15

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2)$ .

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Étape 13.15.1

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 13.15.2

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $(- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 3) = 0$

Étape 13.15.3

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 3)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3) - x^{2} - 3) = 0$

Étape 13.16

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Étape 13.17

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.17.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 13.17.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Étape 13.17.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Étape 13.17.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Étape 13.18

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + 3 x - x^{2} - 3) = 0$

Étape 13.19

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - x^{2} + 3 x - 3) = 0$

Étape 13.20

Factorisez.

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Étape 13.20.1

Réécrivez $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ en forme factorisée.

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Étape 13.20.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 13.20.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 2) (x - 2) ((x^{3} - x^{2}) + 3 x - 3) = 0$

Étape 13.20.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 1) + 3 (x - 1)) = 0$

Étape 13.20.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Étape 13.20.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$

Étape 14

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Étape 15

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 15.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 15.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 16

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 16.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 16.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 17

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 17.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 17.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 18

Définissez $x^{2} + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 18.1

Définissez $x^{2} + 3$ égal à $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Étape 18.2

Résolvez $x^{2} + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 18.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 3$

Étape 18.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Étape 18.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Étape 18.2.3.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Étape 18.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Étape 18.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Étape 18.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 18.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{3}$

Étape 18.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 18.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 19

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$ vraie.

$x = - 2, 2, 1, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 20