Pré-calcul Exemples

$x^{4} - 4 x^{3} - 20 x^{2} - 9 x + 14$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(- 2)}^{4} - 4 {(- 2)}^{3} - 20 {(- 2)}^{2} - 9 \cdot - 2 + 14$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$16 - 4 {(- 2)}^{3} - 20 {(- 2)}^{2} - 9 \cdot - 2 + 14$

Étape 4.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$16 - 4 \cdot - 8 - 20 {(- 2)}^{2} - 9 \cdot - 2 + 14$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$16 + 32 - 20 {(- 2)}^{2} - 9 \cdot - 2 + 14$

Étape 4.1.4

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$16 + 32 - 20 \cdot 4 - 9 \cdot - 2 + 14$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 20$ par $4$ .

$16 + 32 - 80 - 9 \cdot - 2 + 14$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 9$ par $- 2$ .

$16 + 32 - 80 + 18 + 14$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $16$ et $32$ .

$48 - 80 + 18 + 14$

Étape 4.2.2

Soustrayez $80$ de $48$ .

$- 32 + 18 + 14$

Étape 4.2.3

Additionnez $- 32$ et $18$ .

$- 14 + 14$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 14$ et $14$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - 4 x^{3} - 20 x^{2} - 9 x + 14}{x + 2}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(- 2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 4)$ .

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$
	$1$	$- 6$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 6)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(12)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 20)$ .

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$	$12$
	$1$	$- 6$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$	$12$
	$1$	$- 6$	$- 8$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 8)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(16)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 9)$ .

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$	$12$	$16$
	$1$	$- 6$	$- 8$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$	$12$	$16$
	$1$	$- 6$	$- 8$	$7$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(7)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(- 14)$ sous le terme suivant dans le dividende $(14)$ .

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$	$12$	$16$	$- 14$
	$1$	$- 6$	$- 8$	$7$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$1$	$- 4$	$- 20$	$- 9$	$14$
		$- 2$	$12$	$16$	$- 14$
	$1$	$- 6$	$- 8$	$7$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + - 6 x^{2} + (- 8) x + 7$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 7$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Factorisez $x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 7$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 7.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

Étape 7.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 7$

Étape 7.1.3

Remplacez $7$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $7$ est une racine du polynôme.

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Étape 7.1.3.1

Remplacez $7$ dans le polynôme.

$7^{3} - 6 \cdot 7^{2} - 8 \cdot 7 + 7$

Étape 7.1.3.2

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$343 - 6 \cdot 7^{2} - 8 \cdot 7 + 7$

Étape 7.1.3.3

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$343 - 6 \cdot 49 - 8 \cdot 7 + 7$

Étape 7.1.3.4

Multipliez $- 6$ par $49$ .

$343 - 294 - 8 \cdot 7 + 7$

Étape 7.1.3.5

Soustrayez $294$ de $343$ .

$49 - 8 \cdot 7 + 7$

Étape 7.1.3.6

Multipliez $- 8$ par $7$ .

$49 - 56 + 7$

Étape 7.1.3.7

Soustrayez $56$ de $49$ .

$- 7 + 7$

Étape 7.1.3.8

Additionnez $- 7$ et $7$ .

$0$

Étape 7.1.4

Comme $7$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 7$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 7}{x - 7}$

Étape 7.1.5

Divisez $x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 7$ par $x - 7$ .

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Étape 7.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$7$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$8 x$

$7$

Étape 7.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$

Étape 7.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			+	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Étape 7.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 7 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Étape 7.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Étape 7.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$

Étape 7.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$

Étape 7.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$

Étape 7.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} - 7 x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$

Étape 7.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$
							-	$x$

Étape 7.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$
							-	$x$	+	$7$

Étape 7.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$
							-	$x$	+	$7$

Étape 7.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$
							-	$x$	+	$7$
							-	$x$	+	$7$

Étape 7.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x + 7$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$
							-	$x$	+	$7$
							+	$x$	-	$7$

Étape 7.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$7 x$
							-	$x$	+	$7$
							+	$x$	-	$7$
										$0$

Étape 7.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + x - 1$

Étape 7.1.6

Écrivez $x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 7$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 7) (x^{2} + x - 1) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 7 = 0$

$x^{2} + x - 1 = 0$

Étape 7.3

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 7.3.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 7.4

Définissez $x^{2} + x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $x^{2} + x - 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + x - 1 = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez $x^{2} + x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3

Simplifiez

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Étape 7.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 7.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 7.4.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 7.4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 7.4.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 7.4.2.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 7.4.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

Étape 7.4.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{5})}{2}$

Étape 7.4.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 7.4.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 7.4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 7.4.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 7.4.2.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 7.4.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{5})}{2}$

Étape 7.4.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (\sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{5})}{2}$

Étape 7.4.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 7.4.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 7) (x^{2} + x - 1) = 0$ vraie.

$x = 7, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x + 2) (x - 7) (x + \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) (x + \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $x^{4} - 4 x^{3} - 20 x^{2} - 9 x + 14$ .

$x = - 2, 7, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - 2, 7, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Forme décimale :

$x = - 2, 7, 0.61803398 \dots, - 1.61803398 \dots$

Étape 11