Pré-calcul Exemples

$x^{4} + 64 x^{2}$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$0$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(0)}^{4} + 64 {(0)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 0$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 64 {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 64 \cdot 0$

Étape 4.1.3

Multipliez $64$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 5

Comme $0$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 0$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} + 64 x^{2}}{x + 0}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$0$	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$0$	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$
		$0$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$
		$0$
	$1$	$0$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(64)$ .

$0$	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$	$64$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(64)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$64$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$64$	$0$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$64$	$0$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + 0 x^{2} + (64) x + 0$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} + 64 x$

Étape 7

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + 64 x$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + 64 x)$

Étape 7.2

Factorisez $x$ à partir de $64 x$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot 64)$

Étape 7.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot 64$ .

$(x + 0) (x (x^{2} + 64))$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} + 64 x^{2} = 0$

Étape 8.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$u^{2} + 64 u = 0$

Étape 8.3

Factorisez $u$ à partir de $u^{2} + 64 u$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{2}$ .

$u \cdot u + 64 u = 0$

Étape 8.3.2

Factorisez $u$ à partir de $64 u$ .

$u \cdot u + u \cdot 64 = 0$

Étape 8.3.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot u + u \cdot 64$ .

$u (u + 64) = 0$

Étape 8.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} + 64) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 64 = 0$

Étape 10

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 10.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 10.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 10.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 10.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 11

Définissez $x^{2} + 64$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x^{2} + 64$ égal à $0$ .

$x^{2} + 64 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x^{2} + 64 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 64$

Étape 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 64}$

Étape 11.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 64}$ .

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Étape 11.2.3.1

Réécrivez $- 64$ comme $- 1 (64)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (64)}$

Étape 11.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (64)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$

Étape 11.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{64}$

Étape 11.2.3.4

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}$

Étape 11.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 8$

Étape 11.2.3.6

Déplacez $8$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 8 i$

Étape 11.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 8 i$

Étape 11.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 8 i$

Étape 11.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 8 i, - 8 i$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (x^{2} + 64) = 0$ vraie.

$x = 0, 8 i, - 8 i$

Étape 13