Pré-calcul Exemples

$2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$2 {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \cdot 1 - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Étape 4.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Étape 4.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 - 1 \cdot 1 + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 - 1 + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Étape 4.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 - 1 + 49 \cdot 1 - 25 \cdot 1 - 25$

Étape 4.1.6

Multipliez $49$ par $1$ .

$2 - 1 + 49 - 25 \cdot 1 - 25$

Étape 4.1.7

Multipliez $- 25$ par $1$ .

$2 - 1 + 49 - 25 - 25$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$1 + 49 - 25 - 25$

Étape 4.2.2

Additionnez $1$ et $49$ .

$50 - 25 - 25$

Étape 4.2.3

Soustrayez $25$ de $50$ .

$25 - 25$

Étape 4.2.4

Soustrayez $25$ de $25$ .

$0$

Étape 5

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25}{x - 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$

	$2$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$
	$2$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$
	$2$	$1$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(49)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$
	$2$	$1$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$
	$2$	$1$	$50$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(50)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(50)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 25)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$
	$2$	$1$	$50$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$
	$2$	$1$	$50$	$25$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(25)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(25)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 25)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$	$25$
	$2$	$1$	$50$	$25$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$	$25$
	$2$	$1$	$50$	$25$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2 x^{3} + 1 x^{2} + (50) x + 25$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 x^{3} + x^{2} + 50 x + 25$

Étape 7

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 1) (2 x^{3} + x^{2}) + 50 x + 25$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 1) + x^{2} (2 x + 1) + 25 (2 x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (2 x + 1) + 25 (2 x + 1)$

Étape 8

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} + 25)$

Étape 9

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Regroupez les termes.

$- x^{3} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Étape 9.2

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{3} - 25 x$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Étape 9.2.2

Factorisez $- x$ à partir de $- 25 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 25 + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Étape 9.2.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x^{2}) - x (25)$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Étape 9.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 {(x^{2})}^{2} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Étape 9.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 u - 25 = 0$

Étape 9.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 9.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ et dont la somme est $b = 49$ .

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Étape 9.5.1.1

Factorisez $49$ à partir de $49 u$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 (u) - 25 = 0$

Étape 9.5.1.2

Réécrivez $49$ comme $- 1$ plus $50$

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + (- 1 + 50) u - 25 = 0$

Étape 9.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

Étape 9.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

Étape 9.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- x (x^{2} + 25) + u (2 u - 1) + 25 (2 u - 1) = 0$

Étape 9.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 u - 1) (u + 25) = 0$

Étape 9.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

Étape 9.7

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de $- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

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Étape 9.7.1

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de $- x (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

Étape 9.7.2

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de $(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1) = 0$

Étape 9.7.3

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de $(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} + 25) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

Étape 9.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} + 25) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

Étape 9.9

Factorisez par regroupement.

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Étape 9.9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Étape 9.9.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 9.9.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

Étape 9.9.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Étape 9.9.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Étape 9.9.2.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Étape 9.9.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.9.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{2} + 25) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

Étape 9.9.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x^{2} + 25) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Étape 9.9.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + 1$ .

$(x^{2} + 25) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Étape 9.10

Factorisez.

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Étape 9.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} + 25) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 9.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 11

Définissez $x^{2} + 25$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x^{2} + 25$ égal à $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x^{2} + 25 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 25$

Étape 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

Étape 11.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 25}$ .

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Étape 11.2.3.1

Réécrivez $- 25$ comme $- 1 (25)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

Étape 11.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (25)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

Étape 11.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

Étape 11.2.3.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

Étape 11.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 5$

Étape 11.2.3.6

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 5 i$

Étape 11.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 5 i$

Étape 11.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 5 i$

Étape 11.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 5 i, - 5 i$

Étape 12

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 12.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 12.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 12.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 12.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 12.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 13

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 13.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 5 i, - 5 i, - \frac{1}{2}, 1$

Étape 15