Pré-calcul Exemples

$x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 15 x + 4$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(- 1)}^{4} - 6 {(- 1)}^{3} + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1) + 4$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 - 6 {(- 1)}^{3} + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1) + 4$

Étape 4.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$1 - 6 \cdot - 1 + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1) + 4$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$1 + 6 + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1) + 4$

Étape 4.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 6 + 4 \cdot 1 + 15 (- 1) + 4$

Étape 4.1.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$1 + 6 + 4 + 15 (- 1) + 4$

Étape 4.1.6

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$1 + 6 + 4 - 15 + 4$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $1$ et $6$ .

$7 + 4 - 15 + 4$

Étape 4.2.2

Additionnez $7$ et $4$ .

$11 - 15 + 4$

Étape 4.2.3

Soustrayez $15$ de $11$ .

$- 4 + 4$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 15 x + 4}{x + 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 6)$ .

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$
	$1$	$- 7$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 7)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(7)$ sous le terme suivant dans le dividende $(4)$ .

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$
	$1$	$- 7$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$
	$1$	$- 7$	$11$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(11)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 11)$ sous le terme suivant dans le dividende $(15)$ .

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$	$- 11$
	$1$	$- 7$	$11$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$	$- 11$
	$1$	$- 7$	$11$	$4$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(4)$ .

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$	$- 11$	$- 4$
	$1$	$- 7$	$11$	$4$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$	$- 11$	$- 4$
	$1$	$- 7$	$11$	$4$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + - 7 x^{2} + (11) x + 4$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Factorisez $x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 7.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 7.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 7.1.3

Remplacez $4$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $4$ est une racine du polynôme.

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Étape 7.1.3.1

Remplacez $4$ dans le polynôme.

$4^{3} - 7 \cdot 4^{2} + 11 \cdot 4 + 4$

Étape 7.1.3.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$64 - 7 \cdot 4^{2} + 11 \cdot 4 + 4$

Étape 7.1.3.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$64 - 7 \cdot 16 + 11 \cdot 4 + 4$

Étape 7.1.3.4

Multipliez $- 7$ par $16$ .

$64 - 112 + 11 \cdot 4 + 4$

Étape 7.1.3.5

Soustrayez $112$ de $64$ .

$- 48 + 11 \cdot 4 + 4$

Étape 7.1.3.6

Multipliez $11$ par $4$ .

$- 48 + 44 + 4$

Étape 7.1.3.7

Additionnez $- 48$ et $44$ .

$- 4 + 4$

Étape 7.1.3.8

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$0$

Étape 7.1.4

Comme $4$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 4$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4}{x - 4}$

Étape 7.1.5

Divisez $x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4$ par $x - 4$ .

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Étape 7.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$11 x$

$4$

Étape 7.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$

Étape 7.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Étape 7.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Étape 7.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Étape 7.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$

Étape 7.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$

Étape 7.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$

Étape 7.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{2} + 12 x$

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$

Étape 7.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$

Étape 7.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$

Étape 7.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$

Étape 7.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$
							-	$x$	+	$4$

Étape 7.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x + 4$

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$
							+	$x$	-	$4$

Étape 7.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$
							+	$x$	-	$4$
										$0$

Étape 7.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 3 x - 1$

Étape 7.1.6

Écrivez $x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 4) (x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Étape 7.3

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 7.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 7.4

Définissez $x^{2} - 3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $x^{2} - 3 x - 1$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 3$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3

Simplifiez

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Étape 7.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.3.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 7.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.3

Additionnez $9$ et $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Étape 7.4.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.4.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 7.4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.3

Additionnez $9$ et $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Étape 7.4.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Étape 7.4.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 7.4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.3

Additionnez $9$ et $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Étape 7.4.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Étape 7.4.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Étape 7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x^{2} - 3 x - 1) = 0$ vraie.

$x = 4, \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x + 1) (x - 4) (x - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}) (x - \frac{3 - \sqrt{13}}{2})$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 15 x + 4$ .

$x = - 1, 4, \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - 1, 4, \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Forme décimale :

$x = - 1, 4, 3.30277563 \dots, - 0.30277563 \dots$

Étape 11