Pré-calcul Exemples

$\frac{x}{x + 1} > 6 x$

Étape 1

Soustrayez $6 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x}{x + 1} - 6 x > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x}{x + 1} - 6 x$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- 6 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x + 1} - 6 x \cdot \frac{x + 1}{x + 1} > 0$

Étape 2.2

Associez $- 6 x$ et $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x + 1} + \frac{- 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x - 6 x (x + 1)$ .

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Étape 2.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} - 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

Étape 2.4.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

Étape 2.4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 6 x (x + 1)$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 6 (x + 1))}{x + 1} > 0$

Étape 2.4.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- 6 (x + 1))$ .

$\frac{x (1 - 6 (x + 1))}{x + 1} > 0$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (1 - 6 x - 6 \cdot 1)}{x + 1} > 0$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$\frac{x (1 - 6 x - 6)}{x + 1} > 0$

Étape 2.4.4

Soustrayez $6$ de $1$ .

$\frac{x (- 6 x - 5)}{x + 1} > 0$

Étape 2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{x (- (6 x) - 5)}{x + 1} > 0$

Étape 2.6

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{x (- (6 x) - 1 (5))}{x + 1} > 0$

Étape 2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (6 x) - 1 (5)$ .

$\frac{x (- (6 x + 5))}{x + 1} > 0$

Étape 2.8

Réécrivez $- (6 x + 5)$ comme $- 1 (6 x + 5)$ .

$\frac{x (- 1 (6 x + 5))}{x + 1} > 0$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x (6 x + 5)}{x + 1} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$- x = 0$

$6 x + 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- x = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- x = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$x = 0$

Étape 5

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$6 x = - 5$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $6 x = - 5$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $6 x = - 5$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{6}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{6}$

Étape 7

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = - \frac{5}{6}$

$x = - 1$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 0, - \frac{5}{6}, - 1$

Étape 10

Déterminez le domaine de $- \frac{x (6 x + 5)}{x + 1}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x (6 x + 5)}{x + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 1 = 0$

Étape 10.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < - \frac{5}{6}$

$- \frac{5}{6} < x < 0$

$x > 0$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- 4}{(- 4) + 1} > 6 (- 4)$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $1.\overline{3}$ est supérieur au côté droit $- 24$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < - \frac{5}{6}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < - \frac{5}{6}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.92$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $- 0.92$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- 0.92}{(- 0.92) + 1} > 6 (- 0.92)$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $- 11.5$ n’est pas supérieur au côté droit $- 5.52$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{5}{6} < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{5}{6} < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.42$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $- 0.42$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- 0.42}{(- 0.42) + 1} > 6 (- 0.42)$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $- 0.72413793$ est supérieur au côté droit $- 2.52$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2}{(2) + 1} > 6 (2)$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $0.\overline{6}$ n’est pas supérieur au côté droit $12$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < - \frac{5}{6}$ Faux

$- \frac{5}{6} < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < - \frac{5}{6}$ Faux

$- \frac{5}{6} < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 1$ ou $- \frac{5}{6} < x < 0$

Étape 14

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 1) \cup (- \frac{5}{6}, 0)$

Étape 15