Pré-calcul Exemples

$x^{3} + 8 x > 6 x^{2}$

Étape 1

Soustrayez $6 x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{3} + 8 x - 6 x^{2} > 0$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} + 8 x - 6 x^{2} = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + 8 x - 6 x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 8 x - 6 x^{2} = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $8 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot 8 - 6 x^{2} = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot 8 + x (- 6 x) = 0$

Étape 3.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot 8$ .

$x (x^{2} + 8) + x (- 6 x) = 0$

Étape 3.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} + 8) + x (- 6 x)$ .

$x (x^{2} + 8 - 6 x) = 0$

Étape 3.2

Factorisez.

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Étape 3.2.1

Factorisez $x^{2} + 8 - 6 x$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x ((x - 4) (x - 2)) = 0$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x - 4) (x - 2) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 7

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 4) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, 4, 2$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2)}^{3} + 8 (- 2) > 6 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 24$ n’est pas supérieur au côté droit $24$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

${(1)}^{3} + 8 (1) > 6 {(1)}^{2}$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $9$ est supérieur au côté droit $6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

${(3)}^{3} + 8 (3) > 6 {(3)}^{2}$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $51$ n’est pas supérieur au côté droit $54$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 10.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

${(6)}^{3} + 8 (6) > 6 {(6)}^{2}$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $264$ est supérieur au côté droit $216$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$2 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

$x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$2 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < 2$ ou $x > 4$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(0, 2) \cup (4, \infty)$

Étape 13