Pré-calcul Exemples

$2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 6$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$2 {(1)}^{3} + 11 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 - 6$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \cdot 1 + 11 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 - 6$

Étape 4.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 11 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 - 6$

Étape 4.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 + 11 \cdot 1 - 7 \cdot 1 - 6$

Étape 4.1.4

Multipliez $11$ par $1$ .

$2 + 11 - 7 \cdot 1 - 6$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$2 + 11 - 7 - 6$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $2$ et $11$ .

$13 - 7 - 6$

Étape 4.2.2

Soustrayez $7$ de $13$ .

$6 - 6$

Étape 4.2.3

Soustrayez $6$ de $6$ .

$0$

Étape 5

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6}{x - 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$

	$2$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(11)$ .

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$
	$2$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$
	$2$	$13$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(13)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(13)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 7)$ .

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$	$13$
	$2$	$13$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$	$13$
	$2$	$13$	$6$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(6)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(6)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 6)$ .

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$	$13$	$6$
	$2$	$13$	$6$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$	$13$	$6$
	$2$	$13$	$6$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2 x^{2} + 13 x + 6$

Étape 7

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ et dont la somme est $b = 13$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $13$ à partir de $13 x$ .

$(x - 1) + 2 x^{2} + 13 (x) + 6$

Étape 7.1.2

Réécrivez $13$ comme $1$ plus $12$

$(x - 1) + 2 x^{2} + (1 + 12) x + 6$

Étape 7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 1) + 2 x^{2} + 1 x + 12 x + 6$

Étape 7.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x - 1) + 2 x^{2} + x + 12 x + 6$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 1) (2 x^{2} + x) + 12 x + 6$

Étape 7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 1) + x (2 x + 1) + 6 (2 x + 1)$

Étape 7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$(x - 1) + (2 x + 1) (x + 6)$

$(x - 1) (2 x + 1) (x + 6)$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Factorisez $2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 8.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 8.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Étape 8.1.3

Remplacez $- 0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 8.1.3.1

Remplacez $- 0.5$ dans le polynôme.

$2 {(- 0.5)}^{3} + 11 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Étape 8.1.3.2

Élevez $- 0.5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 0.125 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Étape 8.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 0.125$ .

$- 0.25 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Étape 8.1.3.4

Élevez $- 0.5$ à la puissance $2$ .

$- 0.25 + 11 \cdot 0.25 - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Étape 8.1.3.5

Multipliez $11$ par $0.25$ .

$- 0.25 + 2.75 - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Étape 8.1.3.6

Additionnez $- 0.25$ et $2.75$ .

$2.5 - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Étape 8.1.3.7

Multipliez $- 7$ par $- 0.5$ .

$2.5 + 3.5 - 6$

Étape 8.1.3.8

Additionnez $2.5$ et $3.5$ .

$6 - 6$

Étape 8.1.3.9

Soustrayez $6$ de $6$ .

$0$

Étape 8.1.4

Comme $- 0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6}{2 x + 1}$

Étape 8.1.5

Divisez $2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6$ par $2 x + 1$ .

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Étape 8.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$7 x$

$6$

Étape 8.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$

Étape 8.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 8.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 8.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

Étape 8.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$

Étape 8.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $10 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$

Étape 8.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$5 x$

Étape 8.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $10 x^{2} + 5 x$

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$

Étape 8.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$

Étape 8.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$

Étape 8.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 12 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$

Étape 8.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							-	$12 x$	-	$6$

Étape 8.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 12 x - 6$

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							+	$12 x$	+	$6$

Étape 8.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							+	$12 x$	+	$6$
										$0$

Étape 8.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 5 x - 6$

Étape 8.1.6

Écrivez $2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x + 1) (x^{2} + 5 x - 6) = 0$

Étape 8.2

Factorisez $x^{2} + 5 x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.2.1

Factorisez $x^{2} + 5 x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $5$ .

$- 1, 6$

Étape 8.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(2 x + 1) ((x - 1) (x + 6)) = 0$

Étape 8.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x + 1) (x - 1) (x + 6) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 10

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 11

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 12

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 12.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) (x - 1) (x + 6) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, 1, - 6$

Étape 14