Pré-calcul Exemples

$2 x^{4} - 7 x^{3} - 8 x^{2} + 14 x + 8$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$2 {(- \frac{1}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - \frac{1}{2}$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{4} \frac{1^{4}}{2^{4}}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$2 (1 \frac{1^{4}}{2^{4}}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.3

Multipliez $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ par $1$ .

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \frac{1}{2^{4}} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.5

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$2 (\frac{1}{16}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$2 \frac{1}{2 (8)} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{8} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - 7 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - 7 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{8} - 7 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{8} - 7 (- \frac{1}{2^{3}}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.10

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{8} - 7 (- \frac{1}{8}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.11

Multipliez $- 7 (- \frac{1}{8})$ .

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Étape 4.1.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$\frac{1}{8} + 7 (\frac{1}{8}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.11.2

Associez $7$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.12

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.12.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.12.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.13

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.14

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.15

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 \frac{1}{2^{2}} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.16

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 (\frac{1}{4}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.17

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.17.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} + 4 (- 2) \frac{1}{4} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.17.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} + 4 \cdot - 2 \frac{1}{4} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.17.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 4.1.18

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.18.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 14 (\frac{- 1}{2}) + 8$

Étape 4.1.18.2

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 2 (7) \frac{- 1}{2} + 8$

Étape 4.1.18.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 2 \cdot 7 \frac{- 1}{2} + 8$

Étape 4.1.18.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 7 \cdot - 1 + 8$

Étape 4.1.19

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 - 7 + 8$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 - 7 + 8 + \frac{1 + 7}{8}$

Étape 4.2.2

Additionnez $1$ et $7$ .

$- 2 - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Étape 4.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.3.1

Écrivez $- 2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 2}{1} - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{8}{8} - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Étape 4.3.3

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Étape 4.3.4

Écrivez $- 7$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7}{1} + 8 + \frac{8}{8}$

Étape 4.3.5

Multipliez $\frac{- 7}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{8}{8} + 8 + \frac{8}{8}$

Étape 4.3.6

Multipliez $\frac{- 7}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + 8 + \frac{8}{8}$

Étape 4.3.7

Écrivez $8$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{8}{1} + \frac{8}{8}$

Étape 4.3.8

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{8}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{8}{8}$

Étape 4.3.9

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{8 \cdot 8}{8} + \frac{8}{8}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 \cdot 8 - 7 \cdot 8 + 8 \cdot 8 + 8}{8}$

Étape 4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$\frac{- 16 - 7 \cdot 8 + 8 \cdot 8 + 8}{8}$

Étape 4.5.2

Multipliez $- 7$ par $8$ .

$\frac{- 16 - 56 + 8 \cdot 8 + 8}{8}$

Étape 4.5.3

Multipliez $8$ par $8$ .

$\frac{- 16 - 56 + 64 + 8}{8}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Soustrayez $56$ de $- 16$ .

$\frac{- 72 + 64 + 8}{8}$

Étape 4.6.2

Additionnez $- 72$ et $64$ .

$\frac{- 8 + 8}{8}$

Étape 4.6.3

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$\frac{0}{8}$

Étape 4.6.4

Divisez $0$ par $8$ .

$0$

Étape 5

Comme $- \frac{1}{2}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + \frac{1}{2}$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{4} - 7 x^{3} - 8 x^{2} + 14 x + 8}{x + \frac{1}{2}}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$

	$2$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(- \frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 7)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$
	$2$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$
	$2$	$- 8$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 8)$ par le diviseur $(- \frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 8)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$
	$2$	$- 8$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$
	$2$	$- 8$	$- 4$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 4)$ par le diviseur $(- \frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(14)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$2$	$- 8$	$- 4$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$2$	$- 8$	$- 4$	$16$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(16)$ par le diviseur $(- \frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(- 8)$ sous le terme suivant dans le dividende $(8)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$2$	$- 8$	$- 4$	$16$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$2$	$- 8$	$- 4$	$16$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2 x^{3} + - 8 x^{2} + (- 4) x + 16$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 16$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 16$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) - 8 x^{2} - 4 x + 16)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x^{2}$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) - 4 x + 16)$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2 x) + 16)$

Étape 7.4

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 8)$

Étape 7.5

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 2 (- 4 x^{2})$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 8)$

Étape 7.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2 x)$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x) + 2 \cdot 8)$

Étape 7.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x) + 2 \cdot 8$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8))$

Étape 8

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + \frac{1}{2}) (2 ((x^{3} - 4 x^{2}) - 2 x + 8))$

Étape 8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)))$

Étape 9

Factorisez.

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Étape 9.1

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 4$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 ((x - 4) (x^{2} - 2)))$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x - 4) (x^{2} - 2))$

Étape 10

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 10.1

Regroupez les termes.

$- 7 x^{3} + 14 x + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Étape 10.2

Factorisez $- 7 x$ à partir de $- 7 x^{3} + 14 x$ .

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Étape 10.2.1

Factorisez $- 7 x$ à partir de $- 7 x^{3}$ .

$- 7 x \cdot x^{2} + 14 x + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Étape 10.2.2

Factorisez $- 7 x$ à partir de $14 x$ .

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot - 2 + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Étape 10.2.3

Factorisez $- 7 x$ à partir de $- 7 x (x^{2}) - 7 x (- 2)$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Étape 10.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4} - 8 x^{2} + 8$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4}) - 8 x^{2} + 8 = 0$

Étape 10.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4}) + 2 (- 4 x^{2}) + 8 = 0$

Étape 10.3.3

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 x^{4} + 2 (- 4 x^{2}) + 2 \cdot 4 = 0$

Étape 10.3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4} + 2 (- 4 x^{2})$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4} - 4 x^{2}) + 2 \cdot 4 = 0$

Étape 10.3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{4} - 4 x^{2}) + 2 \cdot 4$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4} - 4 x^{2} + 4) = 0$

Étape 10.4

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 ({(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} + 4) = 0$

Étape 10.5

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (u^{2} - 4 u + 4) = 0$

Étape 10.6

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 10.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (u^{2} - 4 u + 2^{2}) = 0$

Étape 10.6.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Étape 10.6.3

Réécrivez le polynôme.

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 10.6.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 2$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 {(u - 2)}^{2} = 0$

Étape 10.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 {(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Étape 10.8

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $- 7 x (x^{2} - 2) + 2 {(x^{2} - 2)}^{2}$ .

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Étape 10.8.1

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $- 7 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x) + 2 {(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Étape 10.8.2

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $2 {(x^{2} - 2)}^{2}$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x) + (x^{2} - 2) (2 (x^{2} - 2)) = 0$

Étape 10.8.3

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $(x^{2} - 2) (- 7 x) + (x^{2} - 2) (2 (x^{2} - 2))$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x + 2 (x^{2} - 2)) = 0$

Étape 10.9

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 2) (- 7 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Étape 10.10

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x + 2 x^{2} - 4) = 0$

Étape 10.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} - 7 x - 4) = 0$

Étape 10.12

Factorisez.

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Étape 10.12.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 10.12.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 10.12.1.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 x$ .

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} - 7 x - 4) = 0$

Étape 10.12.1.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $1$ plus $- 8$

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} + (1 - 8) x - 4) = 0$

Étape 10.12.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} + 1 x - 8 x - 4) = 0$

Étape 10.12.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} + x - 8 x - 4) = 0$

Étape 10.12.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 10.12.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{2} - 2) ((2 x^{2} + x) - 8 x - 4) = 0$

Étape 10.12.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x^{2} - 2) (x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1)) = 0$

Étape 10.12.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$(x^{2} - 2) ((2 x + 1) (x - 4)) = 0$

Étape 10.12.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} - 2) (2 x + 1) (x - 4) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 12

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $x^{2} - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2$

Étape 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 12.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 12.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 12.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 12.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 13

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 13.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 13.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 13.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 13.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 13.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 13.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 14

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 14.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 15

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} - 2) (2 x + 1) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, - \frac{1}{2}, 4$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, - \frac{1}{2}, 4$

Forme décimale :

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, - 0.5, 4$

Étape 17