Pré-calcul Exemples

$3 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 2$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$3 {(- 2)}^{4} + 8 {(- 2)}^{3} + 6 {(- 2)}^{2} + 3 (- 2) - 2$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$3 \cdot 16 + 8 {(- 2)}^{3} + 6 {(- 2)}^{2} + 3 (- 2) - 2$

Étape 4.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$48 + 8 {(- 2)}^{3} + 6 {(- 2)}^{2} + 3 (- 2) - 2$

Étape 4.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$48 + 8 \cdot - 8 + 6 {(- 2)}^{2} + 3 (- 2) - 2$

Étape 4.1.4

Multipliez $8$ par $- 8$ .

$48 - 64 + 6 {(- 2)}^{2} + 3 (- 2) - 2$

Étape 4.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$48 - 64 + 6 \cdot 4 + 3 (- 2) - 2$

Étape 4.1.6

Multipliez $6$ par $4$ .

$48 - 64 + 24 + 3 (- 2) - 2$

Étape 4.1.7

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$48 - 64 + 24 - 6 - 2$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $64$ de $48$ .

$- 16 + 24 - 6 - 2$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 16$ et $24$ .

$8 - 6 - 2$

Étape 4.2.3

Soustrayez $6$ de $8$ .

$2 - 2$

Étape 4.2.4

Soustrayez $2$ de $2$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{3 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 2}{x + 2}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(3)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$

	$3$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(- 6)$ sous le terme suivant dans le dividende $(8)$ .

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$
	$3$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$
	$3$	$2$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(- 4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(6)$ .

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$	$- 4$
	$3$	$2$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$	$- 4$
	$3$	$2$	$2$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(- 4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(3)$ .

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$	$- 4$	$- 4$
	$3$	$2$	$2$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$	$- 4$	$- 4$
	$3$	$2$	$2$	$- 1$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 1)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 2)$ .

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$	$- 4$	$- 4$	$2$
	$3$	$2$	$2$	$- 1$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$	$- 4$	$- 4$	$2$
	$3$	$2$	$2$	$- 1$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$3 x^{3} + 2 x^{2} + (2) x - 1$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$3 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Factorisez $3 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 7.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 7.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}$

Étape 7.1.3

Remplacez $0.\overline{3}$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.\overline{3}$ est une racine du polynôme.

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Étape 7.1.3.1

Remplacez $0.\overline{3}$ dans le polynôme.

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 2 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Étape 7.1.3.2

Élevez $0.\overline{3}$ à la puissance $3$ .

$3 \cdot 0.\overline{037} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 2 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Étape 7.1.3.3

Multipliez $3$ par $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{1} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 2 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Étape 7.1.3.4

Élevez $0.\overline{3}$ à la puissance $2$ .

$0.\overline{1} + 2 \cdot 0.\overline{1} + 2 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Étape 7.1.3.5

Multipliez $2$ par $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{1} + 0.\overline{2} + 2 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Étape 7.1.3.6

Additionnez $0.\overline{1}$ et $0.\overline{2}$ .

$0.\overline{3} + 2 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Étape 7.1.3.7

Multipliez $2$ par $0.\overline{3}$ .

$0.\overline{3} + 0.\overline{6} - 1$

Étape 7.1.3.8

Additionnez $0.\overline{3}$ et $0.\overline{6}$ .

$1 - 1$

Étape 7.1.3.9

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 7.1.4

Comme $0.\overline{3}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $3 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1}{3 x - 1}$

Étape 7.1.5

Divisez $3 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1$ par $3 x - 1$ .

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Étape 7.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$1$

Étape 7.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$

Étape 7.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			+	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 7.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 7.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Étape 7.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 7.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 7.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$

Étape 7.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

Étape 7.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$

Étape 7.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$1$

Étape 7.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$1$

Étape 7.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	-	$1$

Étape 7.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x - 1$

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$

Étape 7.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$
										$0$

Étape 7.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + x + 1$

Étape 7.1.6

Écrivez $3 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1$ comme un ensemble de facteurs.

$(3 x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 7.3

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 7.3.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 7.3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 7.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 7.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 7.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 7.4

Définissez $x^{2} + x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $x^{2} + x + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez $x^{2} + x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3

Simplifiez

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Étape 7.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 7.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 7.4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Étape 7.4.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Étape 7.4.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 7.4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Étape 7.4.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Étape 7.4.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x + 2) (x - \frac{1}{3}) (x + \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}) (x + \frac{1 + i \sqrt{3}}{2})$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $3 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 2$ .

$x = - 2, \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 10