Pré-calcul Exemples

$3 x^{3} - 7 x^{2} - 75 x + 175$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 25, \pm 35, \pm 175$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}, \pm 7, \pm \frac{7}{3}, \pm 25, \pm \frac{25}{3}, \pm 35, \pm \frac{35}{3}, \pm 175, \pm \frac{175}{3}$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$3 {(5)}^{3} - 7 {(5)}^{2} - 75 \cdot 5 + 175$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 5$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$3 \cdot 125 - 7 {(5)}^{2} - 75 \cdot 5 + 175$

Étape 4.1.2

Multipliez $3$ par $125$ .

$375 - 7 {(5)}^{2} - 75 \cdot 5 + 175$

Étape 4.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$375 - 7 \cdot 25 - 75 \cdot 5 + 175$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 7$ par $25$ .

$375 - 175 - 75 \cdot 5 + 175$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 75$ par $5$ .

$375 - 175 - 375 + 175$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $175$ de $375$ .

$200 - 375 + 175$

Étape 4.2.2

Soustrayez $375$ de $200$ .

$- 175 + 175$

Étape 4.2.3

Additionnez $- 175$ et $175$ .

$0$

Étape 5

Comme $5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 5$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{3 x^{3} - 7 x^{2} - 75 x + 175}{x - 5}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(3)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$

	$3$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(5)$ et placez le résultat de $(15)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 7)$ .

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$
	$3$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$
	$3$	$8$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(8)$ par le diviseur $(5)$ et placez le résultat de $(40)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 75)$ .

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$
	$3$	$8$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$
	$3$	$8$	$- 35$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 35)$ par le diviseur $(5)$ et placez le résultat de $(- 175)$ sous le terme suivant dans le dividende $(175)$ .

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$	$- 175$
	$3$	$8$	$- 35$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$	$- 175$
	$3$	$8$	$- 35$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$3 x^{2} + 8 x - 35$

Étape 7

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 35 = - 105$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$(x - 5) + 3 x^{2} + 8 (x) - 35$

Étape 7.1.2

Réécrivez $8$ comme $- 7$ plus $15$

$(x - 5) + 3 x^{2} + (- 7 + 15) x - 35$

Étape 7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 5) + 3 x^{2} - 7 x + 15 x - 35$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 5) (3 x^{2} - 7 x) + 15 x - 35$

Étape 7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 5) + x (3 x - 7) + 5 (3 x - 7)$

Étape 7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 7$ .

$(x - 5) + (3 x - 7) (x + 5)$

$(x - 5) (3 x - 7) (x + 5)$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{3} - 7 x^{2}) - 75 x + 175 = 0$

Étape 8.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (3 x - 7) - 25 (3 x - 7) = 0$

Étape 8.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 7$ .

$(3 x - 7) (x^{2} - 25) = 0$

Étape 8.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$(3 x - 7) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Étape 8.4

Factorisez.

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Étape 8.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$(3 x - 7) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Étape 8.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(3 x - 7) (x + 5) (x - 5) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 7 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 10

Définissez $3 x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $3 x - 7$ égal à $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $3 x - 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 7$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 7$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 7$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Étape 11

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 11.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 12

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 7) (x + 5) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = \frac{7}{3}, - 5, 5$

Étape 14