Pré-calcul Exemples

$2^{7 - 3 x} = \frac{1}{4}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{1}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$2^{7 - 3 x} - \frac{1}{4} = 0$

Étape 2

Simplifiez $2^{7 - 3 x} - \frac{1}{4}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $2^{7 - 3 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2^{7 - 3 x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = 0$

Étape 2.2

Associez $2^{7 - 3 x}$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} = 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 4 - 1}{4} = 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 2^{2} - 1}{4} = 0$

Étape 2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{7 - 3 x + 2} - 1}{4} = 0$

Étape 2.4.3

Additionnez $7$ et $2$ .

$\frac{2^{- 3 x + 9} - 1}{4} = 0$

Étape 2.4.4

Réécrivez $2^{- 3 x + 9}$ comme ${(2^{- x + 3})}^{3}$ .

$\frac{{(2^{- x + 3})}^{3} - 1}{4} = 0$

Étape 2.4.5

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{{(2^{- x + 3})}^{3} - 1^{3}}{4} = 0$

Étape 2.4.6

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 2^{- x + 3}$ et $b = 1$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) ({(2^{- x + 3})}^{2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Étape 2.4.7

Simplifiez

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Étape 2.4.7.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{- x + 3})}^{2}$ .

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Étape 2.4.7.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{(- x + 3) \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Étape 2.4.7.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- x \cdot 2 + 3 \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Étape 2.4.7.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 3 \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Étape 2.4.7.1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Étape 2.4.7.2

Multipliez $2^{- x + 3}$ par $1$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1^{2})}{4} = 0$

Étape 2.4.7.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)}{4} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Simplifiez $(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)$ .

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Étape 4.1.1

Développez $(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 2^{- x + 3} \cdot 1 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 4.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.2.1

Associez les termes opposés dans $2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 2^{- x + 3} \cdot 1 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2^{- x + 3} \cdot 1$ et $- 1 \cdot 2^{- x + 3}$ .

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 4.1.2.1.2

Soustrayez $1 \cdot 2^{- x + 3}$ de $1 \cdot 2^{- x + 3}$ .

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 0 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 4.1.2.1.3

Additionnez $2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3}$ et $0$ .

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $2^{- x + 3}$ par $2^{- 2 x + 6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{- x + 3 - 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 4.1.2.2.1.2

Soustrayez $2 x$ de $- x$ .

$2^{- 3 x + 3 + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 4.1.2.2.1.3

Additionnez $3$ et $6$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $2^{- x + 3}$ par $2^{- x + 3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.2.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- x + 3 - x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 4.1.2.2.2.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 3 + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 4.1.2.2.2.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 4.1.2.2.3

Réécrivez $- 1 \cdot 2^{- 2 x + 6}$ comme $- 2^{- 2 x + 6}$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 4.1.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1 = 0$

Étape 4.1.2.3

Associez les termes opposés dans $2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Soustrayez $2^{- 2 x + 6}$ de $2^{- 2 x + 6}$ .

$2^{- 3 x + 9} + 0 - 1 = 0$

Étape 4.1.2.3.2

Additionnez $2^{- 3 x + 9}$ et $0$ .

$2^{- 3 x + 9} - 1 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2^{- 3 x + 9} = 1$

Étape 4.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{- 3 x + 9}) = \ln (1)$

Étape 4.4

Développez $\ln (2^{- 3 x + 9})$ en déplaçant $- 3 x + 9$ hors du logarithme.

$(- 3 x + 9) \ln (2) = \ln (1)$

Étape 4.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 x \ln (2) + 9 \ln (2) = \ln (1)$

Étape 4.6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.6.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- 3 x \ln (2) + 9 \ln (2) = 0$

Étape 4.7

Soustrayez $9 \ln (2)$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$

Étape 4.8

Divisez chaque terme dans $- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$ par $- 3 \ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 4.8.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$ par $- 3 \ln (2)$ .

$\frac{- 3 x \ln (2)}{- 3 \ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Étape 4.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.8.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 4.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x \ln (2)}{- 3 \ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Étape 4.8.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Étape 4.8.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 4.8.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Étape 4.8.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Étape 4.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.8.3.1

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $- 3$ .

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Étape 4.8.3.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 9 \ln (2)$ .

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

Étape 4.8.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.8.3.1.2.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 \ln (2)$ .

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

Étape 4.8.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

Étape 4.8.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3 \ln (2)}{\ln (2)}$

Étape 4.8.3.2

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 4.8.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 \ln (2)}{\ln (2)}$

Étape 4.8.3.2.2

Divisez $3$ par $1$ .

$x = 3$