Pré-calcul Exemples

$f (x) = 12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6$

Étape 1

Définissez $12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6$ égal à $0$ .

$12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Étape 2.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.25, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5, \pm 0.\overline{6}, \pm 0.75$

Étape 2.1.1.3

Remplacez $- 0.\overline{3}$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.\overline{3}$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez $- 0.\overline{3}$ dans le polynôme.

$12 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 73 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 5 \cdot - 0.\overline{3} - 6$

Étape 2.1.1.3.2

Élevez $- 0.\overline{3}$ à la puissance $3$ .

$12 \cdot - 0.\overline{037} + 73 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 5 \cdot - 0.\overline{3} - 6$

Étape 2.1.1.3.3

Multipliez $12$ par $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{4} + 73 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 5 \cdot - 0.\overline{3} - 6$

Étape 2.1.1.3.4

Élevez $- 0.\overline{3}$ à la puissance $2$ .

$- 0.\overline{4} + 73 \cdot 0.\overline{1} + 5 \cdot - 0.\overline{3} - 6$

Étape 2.1.1.3.5

Multipliez $73$ par $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{4} + 8.11111111 + 5 \cdot - 0.\overline{3} - 6$

Étape 2.1.1.3.6

Additionnez $- 0.\overline{4}$ et $8.11111111$ .

$7.66666666 + 5 \cdot - 0.\overline{3} - 6$

Étape 2.1.1.3.7

Multipliez $5$ par $- 0.\overline{3}$ .

$7.66666666 - 1.\overline{6} - 6$

Étape 2.1.1.3.8

Soustrayez $1.\overline{6}$ de $7.66666666$ .

$6 - 6$

Étape 2.1.1.3.9

Soustrayez $6$ de $6$ .

$0$

Étape 2.1.1.4

Comme $- 0.\overline{3}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $3 x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6}{3 x + 1}$

Étape 2.1.1.5

Divisez $12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6$ par $3 x + 1$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 x$

$1$

$12 x^{3}$

$73 x^{2}$

$5 x$

$6$

Étape 2.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $12 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

					$4 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$

Étape 2.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			+	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $12 x^{3} + 4 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$

Étape 2.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $69 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$23 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$

Étape 2.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$4 x^{2}$	+	$23 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$69 x^{2}$	+	$23 x$

Étape 2.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $69 x^{2} + 23 x$

				$4 x^{2}$	+	$23 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$

Étape 2.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$4 x^{2}$	+	$23 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$18 x$

Étape 2.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$4 x^{2}$	+	$23 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$18 x$	-	$6$

Étape 2.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 18 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$23 x$	-	$6$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$18 x$	-	$6$

Étape 2.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$4 x^{2}$	+	$23 x$	-	$6$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$18 x$	-	$6$
							-	$18 x$	-	$6$

Étape 2.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 18 x - 6$

				$4 x^{2}$	+	$23 x$	-	$6$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$18 x$	-	$6$
							+	$18 x$	+	$6$

Étape 2.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$4 x^{2}$	+	$23 x$	-	$6$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$18 x$	-	$6$
							+	$18 x$	+	$6$
										$0$

Étape 2.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$4 x^{2} + 23 x - 6$

Étape 2.1.1.6

Écrivez $12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6$ comme un ensemble de facteurs.

$(3 x + 1) (4 x^{2} + 23 x - 6) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 6 = - 24$ et dont la somme est $b = 23$ .

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Étape 2.1.2.1.1.1

Factorisez $23$ à partir de $23 x$ .

$(3 x + 1) (4 x^{2} + 23 (x) - 6) = 0$

Étape 2.1.2.1.1.2

Réécrivez $23$ comme $- 1$ plus $24$

$(3 x + 1) (4 x^{2} + (- 1 + 24) x - 6) = 0$

Étape 2.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x + 1) (4 x^{2} - 1 x + 24 x - 6) = 0$

Étape 2.1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x + 1) ((4 x^{2} - 1 x) + 24 x - 6) = 0$

Étape 2.1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(3 x + 1) (x (4 x - 1) + 6 (4 x - 1)) = 0$

Étape 2.1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x - 1$ .

$(3 x + 1) ((4 x - 1) (x + 6)) = 0$

Étape 2.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(3 x + 1) (4 x - 1) (x + 6) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 2.3

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $3 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 1$

Étape 2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 2.4

Définissez $4 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $4 x - 1$ égal à $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $4 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Étape 2.5

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 1) (4 x - 1) (x + 6) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, - 6$

Étape 3