Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$

Étape 1

Définissez $x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$ égal à $0$ .

$x^{5} - 5 x^{3} + 4 x = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 5 x^{3} + 4 x = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2}) + 4 x = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2}) + x \cdot 4 = 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2})$ .

$x (x^{4} - 5 x^{2}) + x \cdot 4 = 0$

Étape 2.1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} - 5 x^{2}) + x \cdot 4$ .

$x (x^{4} - 5 x^{2} + 4) = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 4) = 0$

Étape 2.1.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (u^{2} - 5 u + 4) = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $u^{2} - 5 u + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 4, - 1$

Étape 2.1.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x ((u - 4) (u - 1)) = 0$

Étape 2.1.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} - 1)) = 0$

Étape 2.1.6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 1)) = 0$

Étape 2.1.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1)) = 0$

Étape 2.1.8

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Étape 2.1.9

Factorisez.

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Étape 2.1.9.1

Factorisez.

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Étape 2.1.9.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$x ((x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Étape 2.1.9.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x ((x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 2.1.9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.7

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.7.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.7.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2, 2, - 1, 1$

Étape 3