Pré-calcul Exemples

$f (x) = 4 x^{4} + 5 x^{3} + 21 x^{2} + 25 x + 5$

Étape 1

Définissez $4 x^{4} + 5 x^{3} + 21 x^{2} + 25 x + 5$ égal à $0$ .

$4 x^{4} + 5 x^{3} + 21 x^{2} + 25 x + 5 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$5 x^{3} + 25 x + 4 x^{4} + 21 x^{2} + 5 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $5 x$ à partir de $5 x^{3} + 25 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $5 x$ à partir de $5 x^{3}$ .

$5 x (x^{2}) + 25 x + 4 x^{4} + 21 x^{2} + 5 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $5 x$ à partir de $25 x$ .

$5 x (x^{2}) + 5 x (5) + 4 x^{4} + 21 x^{2} + 5 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $5 x$ à partir de $5 x (x^{2}) + 5 x (5)$ .

$5 x (x^{2} + 5) + 4 x^{4} + 21 x^{2} + 5 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$5 x (x^{2} + 5) + 4 {(x^{2})}^{2} + 21 x^{2} + 5 = 0$

Étape 2.1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$5 x (x^{2} + 5) + 4 u^{2} + 21 u + 5 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 5 = 20$ et dont la somme est $b = 21$ .

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Étape 2.1.5.1.1

Factorisez $21$ à partir de $21 u$ .

$5 x (x^{2} + 5) + 4 u^{2} + 21 (u) + 5 = 0$

Étape 2.1.5.1.2

Réécrivez $21$ comme $1$ plus $20$

$5 x (x^{2} + 5) + 4 u^{2} + (1 + 20) u + 5 = 0$

Étape 2.1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 x (x^{2} + 5) + 4 u^{2} + 1 u + 20 u + 5 = 0$

Étape 2.1.5.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$5 x (x^{2} + 5) + 4 u^{2} + u + 20 u + 5 = 0$

Étape 2.1.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$5 x (x^{2} + 5) + 4 u^{2} + u + 20 u + 5 = 0$

Étape 2.1.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$5 x (x^{2} + 5) + u (4 u + 1) + 5 (4 u + 1) = 0$

Étape 2.1.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u + 1$ .

$5 x (x^{2} + 5) + (4 u + 1) (u + 5) = 0$

Étape 2.1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$5 x (x^{2} + 5) + (4 x^{2} + 1) (x^{2} + 5) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $x^{2} + 5$ à partir de $5 x (x^{2} + 5) + (4 x^{2} + 1) (x^{2} + 5)$ .

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Étape 2.1.7.1

Factorisez $x^{2} + 5$ à partir de $5 x (x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 5) (5 x) + (4 x^{2} + 1) (x^{2} + 5) = 0$

Étape 2.1.7.2

Factorisez $x^{2} + 5$ à partir de $(4 x^{2} + 1) (x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 5) (5 x) + (x^{2} + 5) (4 x^{2} + 1) = 0$

Étape 2.1.7.3

Factorisez $x^{2} + 5$ à partir de $(x^{2} + 5) (5 x) + (x^{2} + 5) (4 x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 5) (5 x + 4 x^{2} + 1) = 0$

Étape 2.1.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} + 5) (5 u + 4 u^{2} + 1) = 0$

Étape 2.1.9

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} + 5) (4 u^{2} + 5 u + 1) = 0$

Étape 2.1.9.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 2.1.9.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 u$ .

$(x^{2} + 5) (4 u^{2} + 5 (u) + 1) = 0$

Étape 2.1.9.2.2

Réécrivez $5$ comme $1$ plus $4$

$(x^{2} + 5) (4 u^{2} + (1 + 4) u + 1) = 0$

Étape 2.1.9.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 5) (4 u^{2} + 1 u + 4 u + 1) = 0$

Étape 2.1.9.2.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$(x^{2} + 5) (4 u^{2} + u + 4 u + 1) = 0$

Étape 2.1.9.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.9.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{2} + 5) ((4 u^{2} + u) + 4 u + 1) = 0$

Étape 2.1.9.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x^{2} + 5) (u (4 u + 1) + 1 (4 u + 1)) = 0$

Étape 2.1.9.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u + 1$ .

$(x^{2} + 5) ((4 u + 1) (u + 1)) = 0$

Étape 2.1.10

Factorisez.

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Étape 2.1.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} + 5) ((4 x + 1) (x + 1)) = 0$

Étape 2.1.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 5) (4 x + 1) (x + 1) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

$4 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{2} + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{2} + 5$ égal à $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 5$

Étape 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Étape 2.3.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (5)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Étape 2.3.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Étape 2.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{5}$

Étape 2.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{5}$

Étape 2.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Étape 2.4

Définissez $4 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $4 x + 1$ égal à $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $4 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{4}$

Étape 2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 5) (4 x + 1) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}, - \frac{1}{4}, - 1$

Étape 3