Pré-calcul Exemples

$\frac{3 + 5 i}{- 2 + 2 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{3 + 5 i}{- 2 + 2 i}$ par le conjugué de $- 2 + 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{3 + 5 i}{- 2 + 2 i} \cdot \frac{- 2 - 2 i}{- 2 - 2 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(3 + 5 i) (- 2 - 2 i)}{(- 2 + 2 i) (- 2 - 2 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(3 + 5 i) (- 2 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (- 2 - 2 i) + 5 i (- 2 - 2 i)}{(- 2 + 2 i) (- 2 - 2 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot - 2 + 3 (- 2 i) + 5 i (- 2 - 2 i)}{(- 2 + 2 i) (- 2 - 2 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot - 2 + 3 (- 2 i) + 5 i \cdot - 2 + 5 i (- 2 i)}{(- 2 + 2 i) (- 2 - 2 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{- 6 + 3 (- 2 i) + 5 i \cdot - 2 + 5 i (- 2 i)}{(- 2 + 2 i) (- 2 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{- 6 - 6 i + 5 i \cdot - 2 + 5 i (- 2 i)}{(- 2 + 2 i) (- 2 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{- 6 - 6 i - 10 i + 5 i (- 2 i)}{(- 2 + 2 i) (- 2 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $5 i (- 2 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{- 6 - 6 i - 10 i - 10 i i}{(- 2 + 2 i) (- 2 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 6 - 6 i - 10 i - 10 (i^{1} i)}{(- 2 + 2 i) (- 2 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 6 - 6 i - 10 i - 10 (i^{1} i^{1})}{(- 2 + 2 i) (- 2 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 6 - 6 i - 10 i - 10 i^{1 + 1}}{(- 2 + 2 i) (- 2 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 6 - 6 i - 10 i - 10 i^{2}}{(- 2 + 2 i) (- 2 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 6 - 6 i - 10 i - 10 \cdot - 1}{(- 2 + 2 i) (- 2 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- 10$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 - 6 i - 10 i + 10}{(- 2 + 2 i) (- 2 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $- 6$ et $10$ .

$\frac{4 - 6 i - 10 i}{(- 2 + 2 i) (- 2 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez $10 i$ de $- 6 i$ .

$\frac{4 - 16 i}{(- 2 + 2 i) (- 2 - 2 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(- 2 + 2 i) (- 2 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 - 16 i}{- 2 (- 2 - 2 i) + 2 i (- 2 - 2 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 - 16 i}{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 i) + 2 i (- 2 - 2 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 - 16 i}{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 i) + 2 i \cdot - 2 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{4 - 16 i}{4 - 2 (- 2 i) + 2 i \cdot - 2 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{4 - 16 i}{4 + 4 i + 2 i \cdot - 2 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{4 - 16 i}{4 + 4 i - 4 i + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{4 - 16 i}{4 + 4 i - 4 i - 4 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 - 16 i}{4 + 4 i - 4 i - 4 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 - 16 i}{4 + 4 i - 4 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 - 16 i}{4 + 4 i - 4 i - 4 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 - 16 i}{4 + 4 i - 4 i - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Soustrayez $4 i$ de $4 i$ .

$\frac{4 - 16 i}{4 + 0 - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{4 - 16 i}{4 - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{4 - 16 i}{4 - 4 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{4 - 16 i}{4 + 4}$

Étape 2.3.4

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{4 - 16 i}{8}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $4 - 16 i$ et $8$ .

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Étape 3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (1) - 16 i}{8}$

Étape 3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 16 i$ .

$\frac{4 (1) + 4 (- 4 i)}{8}$

Étape 3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (- 4 i)$ .

$\frac{4 (1 - 4 i)}{8}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 (1 - 4 i)}{4 \cdot 2}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (1 - 4 i)}{4 \cdot 2}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 4 i}{2}$

Étape 4

Divisez la fraction $\frac{1 - 4 i}{2}$ en deux fractions.

$\frac{1}{2} + \frac{- 4 i}{2}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 i$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- 2 i)}{2}$

Étape 5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- 2 i)}{2 (1)}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- 2 i)}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} + \frac{- 2 i}{1}$

Étape 5.2.4

Divisez $- 2 i$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - 2 i$