Pré-calcul Exemples

$\frac{(1 + 2 i) (3 - i)}{2 + i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{(1 + 2 i) (3 - i)}{2 + 1 i}$ par le conjugué de $2 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{(1 + 2 i) (3 - i)}{2 + 1 i} \cdot \frac{2 - i}{2 - i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(1 + 2 i) (3 - i) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(1 + 2 i) (3 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 (3 - i) + 2 i (3 - i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 \cdot 3 + 1 (- i) + 2 i (3 - i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 \cdot 3 + 1 (- i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{(3 + 1 (- i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- i$ par $1$ .

$\frac{(3 - i + 2 i \cdot 3 + 2 i (- i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{(3 - i + 6 i + 2 i (- i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $2 i (- i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(3 - i + 6 i - 2 i i) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{(3 - i + 6 i - 2 (i^{1} i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{(3 - i + 6 i - 2 (i^{1} i^{1})) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(3 - i + 6 i - 2 i^{1 + 1}) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(3 - i + 6 i - 2 i^{2}) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{(3 - i + 6 i - 2 \cdot - 1) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{(3 - i + 6 i + 2) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{(5 - i + 6 i) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $- i$ et $6 i$ .

$\frac{(5 + 5 i) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.3

Développez $(5 + 5 i) (2 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (2 - i) + 5 i (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 2 + 5 (- i) + 5 i (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 2 + 5 (- i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10 + 5 (- i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{10 - 5 i + 5 i \cdot 2 + 5 i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.4.1.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i + 5 i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.4.1.4

Multipliez $5 i (- i)$ .

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Étape 2.2.4.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i - 5 i i}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.4.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i - 5 (i^{1} i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.4.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i - 5 (i^{1} i^{1})}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.4.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{10 - 5 i + 10 i - 5 i^{1 + 1}}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.4.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i - 5 i^{2}}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.4.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i - 5 \cdot - 1}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.4.1.6

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i + 5}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.4.2

Additionnez $10$ et $5$ .

$\frac{15 - 5 i + 10 i}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.4.3

Additionnez $- 5 i$ et $10 i$ .

$\frac{15 + 5 i}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(2 + 1 i) (2 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 + 5 i}{2 (2 - i) + 1 i (2 - i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 + 5 i}{2 \cdot 2 + 2 (- i) + 1 i (2 - i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 + 5 i}{2 \cdot 2 + 2 (- i) + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 + 2 (- i) + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 2 i + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 2 i - i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 2 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 2 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 2 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 2 i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 2 i$ et $2 i$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{5}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $15 + 5 i$ et $5$ .

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Étape 3.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$\frac{5 \cdot 3 + 5 i}{5}$

Étape 3.2

Factorisez $5$ à partir de $5 i$ .

$\frac{5 \cdot 3 + 5 (i)}{5}$

Étape 3.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (3) + 5 (i)$ .

$\frac{5 (3 + i)}{5}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (3 + i)}{5 (1)}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (3 + i)}{5 \cdot 1}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 + i}{1}$

Étape 3.4.4

Divisez $3 + i$ par $1$ .

$3 + i$