Pré-calcul Exemples

$- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Complétez le carré pour $- 54 x + 9 x^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Remettez dans l’ordre $- 54 x$ et $9 x^{2}$ .

$9 x^{2} - 54 x$

Étape 1.1.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Étape 1.1.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun à $- 54$ et $2$ .

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Étape 1.1.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.4.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

Étape 1.1.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Étape 1.1.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 27}{9}$

Étape 1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun à $- 27$ et $9$ .

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Étape 1.1.4.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $- 27$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

Étape 1.1.4.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.4.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

Étape 1.1.4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

Étape 1.1.4.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 3}{1}$

Étape 1.1.4.2.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$d = - 3$

Étape 1.1.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Étape 1.1.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.5.2.1.1

Élevez $- 54$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Étape 1.1.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Étape 1.1.5.2.1.3

Divisez $2916$ par $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Étape 1.1.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$e = 0 - 81$

Étape 1.1.5.2.2

Soustrayez $81$ de $0$ .

$e = - 81$

Étape 1.1.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$

Étape 1.2

Remplacez $- 54 x + 9 x^{2}$ par $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ dans l’équation $- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$ .

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} - 81 = 63$

Étape 1.3

Déplacez $- 81$ du côté droit de l’équation en ajoutant $81$ des deux côtés.

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 63 + 81$

Étape 1.4

Additionnez $63$ et $81$ .

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 144$

Étape 1.5

Divisez chaque terme par $144$ pour rendre le côté droit égal à un.

$- \frac{16 y^{2}}{144} + \frac{9 {(x - 3)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Étape 1.6

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 3$

Étape 4

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Étape 5

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 5.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Étape 5.2

Simplifiez $\frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ .

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Étape 5.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.1

Additionnez $\frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ et $0$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 3$

Étape 5.2.3

Associez $\frac{3}{4}$ et $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 3$

Étape 5.2.4

Multipliez $\frac{3}{4} \cdot - 3$ .

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Étape 5.2.4.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 3}{4}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 9}{4}$

Étape 5.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$

Étape 6

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 6.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Étape 6.2

Simplifiez $- \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ .

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Étape 6.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1.1

Additionnez $- \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ et $0$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 3$

Étape 6.2.3

Associez $x$ et $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 3$

Étape 6.2.4

Multipliez $- \frac{3}{4} \cdot - 3$ .

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Étape 6.2.4.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3 (\frac{3}{4})$

Étape 6.2.4.2

Associez $3$ et $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4}$

Étape 6.2.4.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 6.2.5

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 7

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 8

Les asymptotes sont $y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$ et $y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$ .

Asymptotes : $y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 9