Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$ est indéfinie.

$x = 3, x = 8$

Étape 2

Comme $\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $3$ depuis la gauche et $\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $3$ depuis la droite, $x = 3$ est une asymptote verticale.

$x = 3$

Étape 3

Comme $\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $8$ depuis la gauche et $\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $8$ depuis la droite, $x = 8$ est une asymptote verticale.

$x = 8$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = 3, 8$

Étape 5

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 7

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 8

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 8.1

Factorisez $x^{2} - 11 x + 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $24$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 8, - 3$

Étape 8.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{(x - 8) (x - 3)}$

Étape 8.2

Développez $(x - 8) (x - 3)$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x (x - 3) - 8 (x - 3)}$

Étape 8.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x \cdot x + x \cdot - 3 - 8 (x - 3)}$

Étape 8.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x \cdot x + x \cdot - 3 - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Étape 8.2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 3$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x \cdot x - 3 x - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Étape 8.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x \cdot x - 3 x - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Étape 8.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x \cdot x - 3 x - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Étape 8.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{1 + 1} - 3 x - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Étape 8.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 3 x - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Étape 8.2.9

Multipliez $- 8$ par $- 3$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 3 x - 8 x + 24}$

Étape 8.2.10

Soustrayez $8 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$

Étape 8.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

Étape 8.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$5 x$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

Étape 8.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$5 x$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

Étape 8.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x^{3} - 55 x^{2} + 120 x$

$5 x$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

Étape 8.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$5 x$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

Étape 8.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$5 x$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

$100$

Étape 8.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$5 x$

$4$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

$100$

Étape 8.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$5 x$

$4$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

$100$

$4 x^{2}$

$44 x$

$96$

Étape 8.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{2} - 44 x + 96$

$5 x$

$4$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

$100$

$4 x^{2}$

$44 x$

$96$

Étape 8.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$5 x$

$4$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

$100$

$4 x^{2}$

$44 x$

$96$

$x$

$4$

Étape 8.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$5 x + 4 + \frac{x + 4}{x^{2} - 11 x + 24}$

Étape 8.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 5 x + 4$

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 3, 8$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 5 x + 4$

Étape 10