Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ est indéfinie.

$x = - \frac{1}{2}, x = 2$

Étape 2

Comme $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ depuis la gauche et $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ depuis la droite, $x = - \frac{1}{2}$ est une asymptote verticale.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 3

Comme $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $2$ depuis la gauche et $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $2$ depuis la droite, $x = 2$ est une asymptote verticale.

$x = 2$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Étape 5

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 7

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 8

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Étape 8.1.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x^{1}}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Étape 8.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Étape 8.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Étape 8.1.2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ et dont la somme est $b = - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 (x) - 2}$

Étape 8.1.2.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $1$ plus $- 4$

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} + (1 - 4) x - 2}$

Étape 8.1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2}$

Étape 8.1.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} + x - 4 x - 2}$

Étape 8.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{(2 x^{2} + x) - 4 x - 2}$

Étape 8.1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)}$

Étape 8.1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Étape 8.2

Développez $x (x^{2} + 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Étape 8.2.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Étape 8.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Étape 8.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 2} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Étape 8.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{3} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Étape 8.2.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Étape 8.3

Développez $(2 x + 1) (x - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + x}{2 x (x - 2) + 1 (x - 2)}$

Étape 8.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + x}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 1 (x - 2)}$

Étape 8.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + x}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Étape 8.3.4

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Étape 8.3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Étape 8.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Étape 8.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Étape 8.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Étape 8.3.9

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 4 x + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Étape 8.3.10

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 4 x + x + 1 \cdot - 2}$

Étape 8.3.11

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 4 x + x - 2}$

Étape 8.3.12

Additionnez $- 4 x$ et $x$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Étape 8.4

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Étape 8.5

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x^{2}$ .

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Étape 8.6

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

Étape 8.7

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - \frac{3 x^{2}}{2} - x$

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

Étape 8.8

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

Étape 8.9

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

Étape 8.10

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $\frac{3 x^{2}}{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x^{2}$ .

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

Étape 8.11

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$\frac{9 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

Étape 8.12

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{9 x}{4} - \frac{3}{2}$

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$\frac{9 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

Étape 8.13

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$\frac{9 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

$\frac{17 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

Étape 8.14

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{x}{2} + \frac{3}{4} + \frac{\frac{17 x}{4} + \frac{3}{2}}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Étape 8.15

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - \frac{1}{2}, 2$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = \frac{x}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 10