Pré-calcul Exemples

$x^{2} - 4 y^{2} = 1$

Étape 1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y^{2} = 1 - x^{2}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $- 4 y^{2} = 1 - x^{2}$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 y^{2} = 1 - x^{2}$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

Étape 2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}$

Étape 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ comme ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{4} + {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $\frac{1}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Étape 4.3.2

Remettez dans l’ordre $- {(\frac{1}{2})}^{2}$ et ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 4.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{x}{2}$ et $b = \frac{1}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})}$

Étape 4.5

Simplifiez les termes.

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Étape 4.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{2} (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})}$

Étape 4.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{2} \cdot \frac{x - 1}{2}}$

Étape 4.5.3

Multipliez $\frac{x + 1}{2}$ par $\frac{x - 1}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.5.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{4}}$

Étape 4.6

Réécrivez $\frac{(x + 1) (x - 1)}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 1) (x - 1))$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(x + 1) (x - 1)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{4}}$

Étape 4.6.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 4.6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 1) (x - 1))}$

Étape 4.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

Étape 6

Pour réécrire comme une fonction de $x$ , écrivez l’équation de sorte que $y$ figure seul d’un côté du signe égal et qu’une expression avec uniquement $x$ figure de l’autre côté.

$f (x) = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}, - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$