Pré-calcul Exemples

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $[0, 2 π]$

Étape 1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{4}$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{4}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2

Multipliez $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Étape 4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 5.1.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$2 x = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$2 x = \frac{7 π}{4}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{7 π}{4}$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{7 π}{4}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1

Multipliez $\frac{7 π}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

Étape 5.2.3.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

Étape 6

Déterminez la période de $\cos (2 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 6.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 7

La période de la fonction $\cos (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Déterminez les valeurs de $n$ qui produisent une valeur sur l’intervalle $[0, 2 π]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{π}{8} + π (0)$

Étape 8.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.1

Multipliez $π$ par $0$ .

$\frac{π}{8} + 0$

Étape 8.1.2.2

Additionnez $\frac{π}{8}$ et $0$ .

$\frac{π}{8}$

Étape 8.1.3

L’intervalle $[0, 2 π]$ contient $\frac{π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}$

Étape 8.2

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{7 π}{8} + π (0)$

Étape 8.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Multipliez $π$ par $0$ .

$\frac{7 π}{8} + 0$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $\frac{7 π}{8}$ et $0$ .

$\frac{7 π}{8}$

Étape 8.2.3

L’intervalle $[0, 2 π]$ contient $\frac{7 π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}$

Étape 8.3

Insérez $1$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Insérez $1$ pour $n$ .

$\frac{π}{8} + π (1)$

Étape 8.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{π}{8} + π$

Étape 8.3.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π}{8} + π \cdot \frac{8}{8}$

Étape 8.3.2.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.3.1

Associez $π$ et $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π}{8} + \frac{π \cdot 8}{8}$

Étape 8.3.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π + π \cdot 8}{8}$

Étape 8.3.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.4.1

Déplacez $8$ à gauche de $π$ .

$\frac{π + 8 \cdot π}{8}$

Étape 8.3.2.4.2

Additionnez $π$ et $8 π$ .

$\frac{9 π}{8}$

Étape 8.3.3

L’intervalle $[0, 2 π]$ contient $\frac{9 π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{9 π}{8}$

Étape 8.4

Insérez $1$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Insérez $1$ pour $n$ .

$\frac{7 π}{8} + π (1)$

Étape 8.4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{7 π}{8} + π$

Étape 8.4.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{7 π}{8} + π \cdot \frac{8}{8}$

Étape 8.4.2.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.3.1

Associez $π$ et $\frac{8}{8}$ .

$\frac{7 π}{8} + \frac{π \cdot 8}{8}$

Étape 8.4.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 π + π \cdot 8}{8}$

Étape 8.4.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.4.1

Déplacez $8$ à gauche de $π$ .

$\frac{7 π + 8 \cdot π}{8}$

Étape 8.4.2.4.2

Additionnez $7 π$ et $8 π$ .

$\frac{15 π}{8}$

Étape 8.4.3

L’intervalle $[0, 2 π]$ contient $\frac{15 π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{9 π}{8}, \frac{15 π}{8}$