Pré-calcul Exemples

$x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16$

Étape 1

Factorisez $x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Étape 1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1 + 16$

Étape 1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 + 9 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1 + 16$

Étape 1.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 + 9 \cdot 1 + 24 \cdot - 1 + 16$

Étape 1.3.4

Multipliez $9$ par $1$ .

$- 1 + 9 + 24 \cdot - 1 + 16$

Étape 1.3.5

Additionnez $- 1$ et $9$ .

$8 + 24 \cdot - 1 + 16$

Étape 1.3.6

Multipliez $24$ par $- 1$ .

$8 - 24 + 16$

Étape 1.3.7

Soustrayez $24$ de $8$ .

$- 16 + 16$

Étape 1.3.8

Additionnez $- 16$ et $16$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16}{x + 1}$

Étape 1.5

Divisez $x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16$ par $x + 1$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	+	$16$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $16 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	+	$16$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	+	$16$
							+	$16 x$	+	$16$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $16 x + 16$

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	+	$16$
							-	$16 x$	-	$16$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	+	$16$
							-	$16 x$	-	$16$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 8 x + 16$

Étape 1.6

Écrivez $x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 1) (x^{2} + 8 x + 16)$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$(x + 1) (x^{2} + 8 x + 4^{2})$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$(x + 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$(x + 1) {(x + 4)}^{2}$