Pré-calcul Exemples

$x^{4} + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x - 6$

Étape 1

Regroupez les termes.

$x^{4} + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x - 6$

Étape 2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4} + 3 x^{3}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{3} x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x - 6$

Étape 2.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $3 x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot 3 - 3 x^{2} - 11 x - 6$

Étape 2.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} x + x^{3} \cdot 3$ .

$x^{3} (x + 3) - 3 x^{2} - 11 x - 6$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 3 \cdot - 6 = 18$ et dont la somme est $b = - 11$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 x$ .

$x^{3} (x + 3) - 3 x^{2} - 11 (x) - 6$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 11$ comme $- 2$ plus $- 9$

$x^{3} (x + 3) - 3 x^{2} + (- 2 - 9) x - 6$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} (x + 3) - 3 x^{2} - 2 x - 9 x - 6$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x^{3} (x + 3) + (- 3 x^{2} - 2 x) - 9 x - 6$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{3} (x + 3) + x (- 3 x - 2) + 3 (- 3 x - 2)$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 3 x - 2$ .

$x^{3} (x + 3) + (- 3 x - 2) (x + 3)$

Étape 4

Factorisez $x + 3$ à partir de $x^{3} (x + 3) + (- 3 x - 2) (x + 3)$ .

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Étape 4.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $x^{3} (x + 3)$ .

$(x + 3) x^{3} + (- 3 x - 2) (x + 3)$

Étape 4.2

Factorisez $x + 3$ à partir de $(- 3 x - 2) (x + 3)$ .

$(x + 3) x^{3} + (x + 3) (- 3 x - 2)$

Étape 4.3

Factorisez $x + 3$ à partir de $(x + 3) x^{3} + (x + 3) (- 3 x - 2)$ .

$(x + 3) (x^{3} - 3 x - 2)$

Étape 5

Factorisez.

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Étape 5.1

Réécrivez $x^{3} - 3 x - 2$ en forme factorisée.

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Étape 5.1.1

Factorisez $x^{3} - 3 x - 2$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 5.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2$

Étape 5.1.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.1.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 2$

Étape 5.1.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - 3 \cdot - 1 - 2$

Étape 5.1.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 1 + 3 - 2$

Étape 5.1.1.3.4

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$2 - 2$

Étape 5.1.1.3.5

Soustrayez $2$ de $2$ .

$0$

Étape 5.1.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x - 2}{x + 1}$

Étape 5.1.1.5

Divisez $x^{3} - 3 x - 2$ par $x + 1$ .

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Étape 5.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Étape 5.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$

Étape 5.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 5.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 5.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Étape 5.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Étape 5.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Étape 5.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 5.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} - x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 5.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Étape 5.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

Étape 5.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

Étape 5.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Étape 5.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x - 2$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Étape 5.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$
										$0$

Étape 5.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - x - 2$

Étape 5.1.1.6

Écrivez $x^{3} - 3 x - 2$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 3) ((x + 1) (x^{2} - x - 2))$

Étape 5.1.2

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 5.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 3) ((x + 1) ((x - 2) (x + 1)))$

Étape 5.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 3) ((x + 1) (x - 2) (x + 1))$

Étape 5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 3) (x + 1) (x - 2) (x + 1)$

Étape 6

Associez les exposants.

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Étape 6.1

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$(x + 3) ({(x + 1)}^{1} (x + 1)) (x - 2)$

Étape 6.2

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$(x + 3) ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}) (x - 2)$

Étape 6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 3) {(x + 1)}^{1 + 1} (x - 2)$

Étape 6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(x + 3) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$