Pré-calcul Exemples

$2 x^{4} - x^{3} - 51 x^{2} + 25 x + 25$

Étape 1

Regroupez les termes.

$- x^{3} + 25 x + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Étape 2

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{3} + 25 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{3}$ .

$- x (x^{2}) + 25 x + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Étape 2.2

Factorisez $- x$ à partir de $25 x$ .

$- x (x^{2}) - x (- 25) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Étape 2.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x^{2}) - x (- 25)$ .

$- x (x^{2} - 25) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Étape 3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$- x (x^{2} - 5^{2}) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Étape 4

Factorisez.

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Étape 4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$- x ((x + 5) (x - 5)) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

Étape 5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 {(x^{2})}^{2} - 51 x^{2} + 25$

Étape 6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} - 51 u + 25$

Étape 7

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ et dont la somme est $b = - 51$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $- 51$ à partir de $- 51 u$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} - 51 (u) + 25$

Étape 7.1.2

Réécrivez $- 51$ comme $- 1$ plus $- 50$

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} + (- 1 - 50) u + 25$

Étape 7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} - 1 u - 50 u + 25$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 u^{2} - 1 u) - 50 u + 25$

Étape 7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- x (x + 5) (x - 5) + u (2 u - 1) - 25 (2 u - 1)$

Étape 7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 u - 1) (u - 25)$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 25)$

Étape 9

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 5^{2})$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) ((x + 5) (x - 5))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$

Étape 11

Factorisez $(x + 5) (x - 5)$ à partir de $- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$ .

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Étape 11.1

Factorisez $(x + 5) (x - 5)$ à partir de $- x (x + 5) (x - 5)$ .

$(x + 5) (x - 5) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$

Étape 11.2

Factorisez $(x + 5) (x - 5)$ à partir de $(2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$ .

$(x + 5) (x - 5) (- x) + (x + 5) (x - 5) (2 x^{2} - 1)$

Étape 11.3

Factorisez $(x + 5) (x - 5)$ à partir de $(x + 5) (x - 5) (- x) + (x + 5) (x - 5) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x + 5) (x - 5) (- x + 2 x^{2} - 1)$

Étape 12

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x + 5) (x - 5) (- u + 2 u^{2} - 1)$

Étape 13

Factorisez par regroupement.

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Étape 13.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} - u - 1)$

Étape 13.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 13.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u$ .

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} - (u) - 1)$

Étape 13.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1)$

Étape 13.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1)$

Étape 13.2.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} + u - 2 u - 1)$

Étape 13.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 13.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 5) (x - 5) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1)$

Étape 13.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 5) (x - 5) (u (2 u + 1) - (2 u + 1))$

Étape 13.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + 1$ .

$(x + 5) (x - 5) ((2 u + 1) (u - 1))$

Étape 14

Factorisez.

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Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x + 5) (x - 5) ((2 x + 1) (x - 1))$

Étape 14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 5) (x - 5) (2 x + 1) (x - 1)$