Pré-calcul Exemples

$2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$

Étape 1

Regroupez les termes.

$- x^{3} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25$

Étape 2

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{3} - 25 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{3}$ .

$- x (x^{2}) - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25$

Étape 2.2

Factorisez $- x$ à partir de $- 25 x$ .

$- x (x^{2}) - x (25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25$

Étape 2.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x^{2}) - x (25)$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25$

Étape 3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 {(x^{2})}^{2} + 49 x^{2} - 25$

Étape 4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 u - 25$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ et dont la somme est $b = 49$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $49$ à partir de $49 u$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 (u) - 25$

Étape 5.1.2

Réécrivez $49$ comme $- 1$ plus $50$

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + (- 1 + 50) u - 25$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- x (x^{2} + 25) + (2 u^{2} - 1 u) + 50 u - 25$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- x (x^{2} + 25) + u (2 u - 1) + 25 (2 u - 1)$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 u - 1) (u + 25)$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$

Étape 7

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de $- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de $- x (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$

Étape 7.2

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de $(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$

Étape 7.3

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de $(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} + 25) (- x + 2 x^{2} - 1)$

Étape 8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} + 25) (- u + 2 u^{2} - 1)$

Étape 9

Factorisez par regroupement.

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Étape 9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - u - 1)$

Étape 9.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - (u) - 1)$

Étape 9.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1)$

Étape 9.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1)$

Étape 9.2.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + u - 2 u - 1)$

Étape 9.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{2} + 25) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1)$

Étape 9.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x^{2} + 25) (u (2 u + 1) - (2 u + 1))$

Étape 9.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + 1$ .

$(x^{2} + 25) ((2 u + 1) (u - 1))$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} + 25) ((2 x + 1) (x - 1))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1)$