Pré-calcul Exemples

$\ln (\sqrt{x + 7}) = 2$

Étape 1

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\sqrt{x + 7})} = e^{2}$

Étape 2

Réécrivez $\ln (\sqrt{x + 7}) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2} = \sqrt{x + 7}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{x + 7} = e^{2}$ .

$\sqrt{x + 7} = e^{2}$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x + 7}}^{2} = {(e^{2})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 7}$ comme ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{2})}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 7)}^{1} = {(e^{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$x + 7 = {(e^{2})}^{2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 7 = e^{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x + 7 = e^{4}$

Étape 3.4

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = e^{4} - 7$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = e^{4} - 7$

Forme décimale :

$x = 47.59815003 \dots$