Pré-calcul Exemples

${(\frac{1}{6})}^{3 x + 2} \cdot 216^{3 x} = \frac{1}{216}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(\frac{1}{6})}^{3 x + 2} \cdot 216^{3 x}) = \ln (\frac{1}{216})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln ({(\frac{1}{6})}^{3 x + 2} \cdot 216^{3 x})$ comme $\ln ({(\frac{1}{6})}^{3 x + 2}) + \ln (216^{3 x})$ .

$\ln ({(\frac{1}{6})}^{3 x + 2}) + \ln (216^{3 x}) = \ln (\frac{1}{216})$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(\frac{1}{6})}^{3 x + 2})$ en déplaçant $3 x + 2$ hors du logarithme.

$(3 x + 2) \ln (\frac{1}{6}) + \ln (216^{3 x}) = \ln (\frac{1}{216})$

Étape 2.3

Développez $\ln (216^{3 x})$ en déplaçant $3 x$ hors du logarithme.

$(3 x + 2) \ln (\frac{1}{6}) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Étape 2.4

Réécrivez $\ln (\frac{1}{6})$ comme $\ln (1) - \ln (6)$ .

$(3 x + 2) (\ln (1) - \ln (6)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Étape 2.5

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$(3 x + 2) (0 - \ln (6)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Étape 2.6

Réécrivez $\ln (6)$ comme $\ln (2 (3))$ .

$(3 x + 2) (0 - \ln (2 (3))) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Étape 2.7

Réécrivez $\ln (2 (3))$ comme $\ln (2) + \ln (3)$ .

$(3 x + 2) (0 - (\ln (2) + \ln (3))) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Étape 2.8

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x + 2) (0 - \ln (2) - \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Étape 2.9

Soustrayez $\ln (2)$ de $0$ .

$(3 x + 2) (- \ln (2) - \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Développez $(3 x + 2) (- \ln (2) - \ln (3))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x (- \ln (2) - \ln (3)) + 2 (- \ln (2) - \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Étape 3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x (- \ln (2)) + 3 x (- \ln (3)) + 2 (- \ln (2) - \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Étape 3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x (- \ln (2)) + 3 x (- \ln (3)) + 2 (- \ln (2)) + 2 (- \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Étape 3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 x \ln (2) + 3 x (- \ln (3)) + 2 (- \ln (2)) + 2 (- \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 2 (- \ln (2)) + 2 (- \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Étape 3.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) - 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Étape 3.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) - 2 \ln (2) - 2 \ln (3) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Étape 4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1

Déplacez $- 2 \ln (3)$ .

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) - 2 \ln (2) + 3 x \ln (216) - 2 \ln (3) = \ln (\frac{1}{216})$

Étape 4.2

Déplacez $- 2 \ln (2)$ .

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) - 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = \ln (\frac{1}{216})$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) - 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - \ln (\frac{1}{216}) = 0$

Étape 6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1

Ajoutez $2 \ln (2)$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) - 2 \ln (3) - \ln (\frac{1}{216}) = 2 \ln (2)$

Étape 6.2

Ajoutez $2 \ln (3)$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) - \ln (\frac{1}{216}) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Étape 6.3

Ajoutez $\ln (\frac{1}{216})$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Étape 7

Factorisez $3 x$ à partir de $- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216)$ .

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Étape 7.1

Factorisez $3 x$ à partir de $- 3 x \ln (2)$ .

$3 x (- 1 \ln (2)) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Étape 7.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 3 x \ln (3)$ .

$3 x (- 1 \ln (2)) + 3 x (- 1 \ln (3)) + 3 x \ln (216) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Étape 7.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x \ln (216)$ .

$3 x (- 1 \ln (2)) + 3 x (- 1 \ln (3)) + 3 x \ln (216) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Étape 7.4

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (- 1 \ln (2)) + 3 x (- 1 \ln (3))$ .

$3 x (- 1 \ln (2) - 1 \ln (3)) + 3 x \ln (216) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Étape 7.5

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (- 1 \ln (2) - 1 \ln (3)) + 3 x \ln (216)$ .

$3 x (- 1 \ln (2) - 1 \ln (3) + \ln (216)) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Étape 8

Réécrivez $- 1 \ln (2)$ comme $- \ln (2)$ .

$3 x (- \ln (2) - 1 \ln (3) + \ln (216)) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Étape 9

Réécrivez $- 1 \ln (3)$ comme $- \ln (3)$ .

$3 x (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216)) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Étape 10

Divisez chaque terme dans $3 x (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216)) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$ par $3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Divisez chaque terme dans $3 x (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216)) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$ par $3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))$ .

$\frac{3 x (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} = \frac{2 \ln (2)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{2 \ln (3)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{\ln (\frac{1}{216})}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}$

Étape 10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 10.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}{- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216)} = \frac{2 \ln (2)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{2 \ln (3)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{\ln (\frac{1}{216})}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}$

Étape 10.2.2

Annulez le facteur commun de $- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216)$ .

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Étape 10.2.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 10.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2 \ln (2)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{2 \ln (3)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{\ln (\frac{1}{216})}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{2 \ln (2)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{2 \ln (3)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{\ln (\frac{1}{216})}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}$

Forme décimale :

$x = - 0.1\overline{6}$