Pré-calcul Exemples

$x^{4} - 3 x^{3} = 81 + 18 x - 5 x^{3}$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $18 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} - 3 x^{3} - 18 x = 81 - 5 x^{3}$

Étape 1.2

Ajoutez $5 x^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{4} - 3 x^{3} - 18 x + 5 x^{3} = 81$

Étape 1.3

Additionnez $- 3 x^{3}$ et $5 x^{3}$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 18 x = 81$

Étape 2

Soustrayez $81$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} + 2 x^{3} - 18 x - 81 = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Regroupez les termes.

$x^{4} - 81 + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Étape 3.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 81 + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Étape 3.3

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 9^{2} + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Étape 3.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 9$ .

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 9) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2}) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Étape 3.5.2

Factorisez.

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Étape 3.5.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$(x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3)) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Étape 3.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Étape 3.6

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} - 18 x$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

Étape 3.6.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 18 x$ .

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

Étape 3.6.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ .

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9) = 0$

Étape 3.7

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 3.8

Factorisez.

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Étape 3.8.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 3.8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 3.9

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x + 3) (x - 3)$ .

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Étape 3.9.1

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + 2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 3.9.2

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $2 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + (x + 3) (x - 3) (2 x) = 0$

Étape 3.9.3

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + (x + 3) (x - 3) (2 x)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9 + 2 x) = 0$

Étape 3.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 2 x + 9) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 x + 9 = 0$

Étape 5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7

Définissez $x^{2} + 2 x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x^{2} + 2 x + 9$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 x + 9 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x^{2} + 2 x + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.3

Soustrayez $36$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.4

Réécrivez $- 32$ comme $- 1 (32)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (32)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.7

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 7.2.3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm 2 i \sqrt{2}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + 2 i \sqrt{2}, - 1 - 2 i \sqrt{2}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 2 x + 9) = 0$ vraie.

$x = - 3, 3, - 1 + 2 i \sqrt{2}, - 1 - 2 i \sqrt{2}$