Pré-calcul Exemples

${(1 + \frac{1}{x})}^{2} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ comme $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ .

$(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x}) - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Étape 1.2

Développez $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (1 + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Étape 1.3.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Étape 1.3.1.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Étape 1.3.1.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x^{1}} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Étape 1.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1 + 1}} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Étape 1.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Étape 1.3.2

Additionnez $\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{x}$ .

$1 + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Étape 1.4

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Étape 1.5

Réécrivez ${(1 - \frac{1}{x})}^{2}$ comme $(1 - \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x})$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - ((1 - \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x}))$

Étape 1.6

Développez $(1 - \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 (1 - \frac{1}{x}) - \frac{1}{x} (1 - \frac{1}{x}))$

Étape 1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x} (1 - \frac{1}{x}))$

Étape 1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x} \cdot 1 - \frac{1}{x} (- \frac{1}{x}))$

Étape 1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x} \cdot 1 - \frac{1}{x} (- \frac{1}{x}))$

Étape 1.7.1.2

Multipliez $- \frac{1}{x}$ par $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} \cdot 1 - \frac{1}{x} (- \frac{1}{x}))$

Étape 1.7.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} (- \frac{1}{x}))$

Étape 1.7.1.4

Multipliez $- \frac{1}{x} (- \frac{1}{x})$ .

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Étape 1.7.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} \frac{1}{x})$

Étape 1.7.1.4.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 1.7.1.4.3

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x})$

Étape 1.7.1.4.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x})$

Étape 1.7.1.4.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x^{1}})$

Étape 1.7.1.4.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1 + 1}})$

Étape 1.7.1.4.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}})$

Étape 1.7.2

Soustrayez $\frac{1}{x}$ de $- \frac{1}{x}$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}})$

Étape 1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x}$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 + \frac{- 2}{x} + \frac{1}{x^{2}})$

Étape 1.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}})$

Étape 1.9

Appliquez la propriété distributive.

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 1 - - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - 1 - - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.10.2

Multipliez $- - \frac{2}{x}$ .

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Étape 1.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - 1 + 1 \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.10.2.2

Multipliez $\frac{2}{x}$ par $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - 1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez les termes opposés dans $1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - 1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 0 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.1.2

Additionnez $\frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ et $0$ .

$\frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.1.3

Soustrayez $\frac{1}{x^{2}}$ de $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x} + \frac{2}{x} + 0$

Étape 2.1.4

Additionnez $\frac{2}{x} + \frac{2}{x}$ et $0$ .

$\frac{2}{x} + \frac{2}{x}$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 + 2}{x}$

Étape 2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{4}{x}$