Pré-calcul Exemples

$8 {(1 + \frac{1}{t})}^{2} + 22 (1 + \frac{1}{t}) + 15 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Remplacez toutes les occurrences de $1 + \frac{1}{t}$ par $u$ .

$8 u^{2} + 22 u + 15 = 0$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 8 \cdot 15 = 120$ et dont la somme est $b = 22$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $22$ à partir de $22 u$ .

$8 u^{2} + 22 (u) + 15 = 0$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $22$ comme $10$ plus $12$

$8 u^{2} + (10 + 12) u + 15 = 0$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 u^{2} + 10 u + 12 u + 15 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(8 u^{2} + 10 u) + 12 u + 15 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 u (4 u + 5) + 3 (4 u + 5) = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u + 5$ .

$(4 u + 5) (2 u + 3) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + \frac{1}{t}$ .

$(4 (1 + \frac{1}{t}) + 5) (2 (1 + \frac{1}{t}) + 3) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 (1 + \frac{1}{t}) + 5 = 0$

$2 (1 + \frac{1}{t}) + 3 = 0$

Étape 3

Définissez $4 (1 + \frac{1}{t}) + 5$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 3.1

Définissez $4 (1 + \frac{1}{t}) + 5$ égal à $0$ .

$4 (1 + \frac{1}{t}) + 5 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $4 (1 + \frac{1}{t}) + 5 = 0$ pour $t$ .

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Étape 3.2.1

Simplifiez $4 (1 + \frac{1}{t}) + 5$ .

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot 1 + 4 \frac{1}{t} + 5 = 0$

Étape 3.2.1.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + 4 \frac{1}{t} + 5 = 0$

Étape 3.2.1.1.3

Associez $4$ et $\frac{1}{t}$ .

$4 + \frac{4}{t} + 5 = 0$

Étape 3.2.1.2

Additionnez $4$ et $5$ .

$\frac{4}{t} + 9 = 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{4}{t} = - 9$

Étape 3.2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$t, 1$

Étape 3.2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$t$

Étape 3.2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{4}{t} = - 9$ par $t$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{4}{t} = - 9$ par $t$ .

$\frac{4}{t} t = - 9 t$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{t} t = - 9 t$

Étape 3.2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 = - 9 t$

Étape 3.2.5

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 9 t = 4$ .

$- 9 t = 4$

Étape 3.2.5.2

Divisez chaque terme dans $- 9 t = 4$ par $- 9$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 9 t = 4$ par $- 9$ .

$\frac{- 9 t}{- 9} = \frac{4}{- 9}$

Étape 3.2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 9 t}{- 9} = \frac{4}{- 9}$

Étape 3.2.5.2.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{4}{- 9}$

Étape 3.2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{4}{9}$

Étape 4

Définissez $2 (1 + \frac{1}{t}) + 3$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $2 (1 + \frac{1}{t}) + 3$ égal à $0$ .

$2 (1 + \frac{1}{t}) + 3 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $2 (1 + \frac{1}{t}) + 3 = 0$ pour $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez $2 (1 + \frac{1}{t}) + 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 1 + 2 \frac{1}{t} + 3 = 0$

Étape 4.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2 \frac{1}{t} + 3 = 0$

Étape 4.2.1.1.3

Associez $2$ et $\frac{1}{t}$ .

$2 + \frac{2}{t} + 3 = 0$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{2}{t} + 5 = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2}{t} = - 5$

Étape 4.2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$t, 1$

Étape 4.2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$t$

Étape 4.2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{t} = - 5$ par $t$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{t} = - 5$ par $t$ .

$\frac{2}{t} t = - 5 t$

Étape 4.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{t} t = - 5 t$

Étape 4.2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 = - 5 t$

Étape 4.2.5

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 5 t = 2$ .

$- 5 t = 2$

Étape 4.2.5.2

Divisez chaque terme dans $- 5 t = 2$ par $- 5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 5 t = 2$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 t}{- 5} = \frac{2}{- 5}$

Étape 4.2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 t}{- 5} = \frac{2}{- 5}$

Étape 4.2.5.2.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{2}{- 5}$

Étape 4.2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{2}{5}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 (1 + \frac{1}{t}) + 5) (2 (1 + \frac{1}{t}) + 3) = 0$ vraie.

$t = - \frac{4}{9}, - \frac{2}{5}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$t = - \frac{4}{9}, - \frac{2}{5}$

Forme décimale :

$t = - 0.\overline{4}, - 0.4$