Pré-calcul Exemples

(\cot (x) + 1) (\csc (x) + 1) = 0

$(\cot (x) + 1) (\csc (x) + 1) = 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

\cot (x) + 1 = 0

$\cot (x) + 1 = 0$

\csc (x) + 1 = 0

$\csc (x) + 1 = 0$

Étape 2

Définissez

\cot (x) + 1

$\cot (x) + 1$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez

\cot (x) + 1

$\cot (x) + 1$ égal à

0

$0$ .

\cot (x) + 1 = 0

$\cot (x) + 1 = 0$

Étape 2.2

Résolvez

\cot (x) + 1 = 0

$\cot (x) + 1 = 0$ pour

x

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Soustrayez

1

$1$ des deux côtés de l’équation.

\cot (x) = - 1

$\cot (x) = - 1$

Étape 2.2.2

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

x

$x$ de l’intérieur de la cotangente.

x = arccot (- 1)

$x = arccot (- 1)$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

La valeur exacte de

arccot (- 1)

$arccot (- 1)$ est

\frac{3 π}{4}

$\frac{3 π}{4}$ .

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.2.4

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from

π

$π$ to find the solution in the third quadrant.

x = \frac{3 π}{4} - π

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Étape 2.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1

Ajoutez

2 π

$2 π$ à

\frac{3 π}{4} - π

$\frac{3 π}{4} - π$ .

x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Étape 2.2.5.2

L’angle résultant de

\frac{7 π}{4}

$\frac{7 π}{4}$ est positif et coterminal avec

\frac{3 π}{4} - π

$\frac{3 π}{4} - π$ .

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 2.2.6

Déterminez la période de

\cot (x)

$\cot (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$ .

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.2.6.2

Remplacez

b

$b$ par

1

$1$ dans la formule pour la période.

\frac{π}{| 1 |}

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

1

$1$ est

1

$1$ .

\frac{π}{1}

$\frac{π}{1}$

Étape 2.2.6.4

Divisez

π

$π$ par

1

$1$ .

π

$π$

π

$π$

Étape 2.2.7

La période de la fonction

\cot (x)

$\cot (x)$ est

π

$π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

π

$π$ radians dans les deux sens.

x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 3

Définissez

\csc (x) + 1

$\csc (x) + 1$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 3.1

Définissez

\csc (x) + 1

$\csc (x) + 1$ égal à

0

$0$ .

\csc (x) + 1 = 0

$\csc (x) + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez

\csc (x) + 1 = 0

$\csc (x) + 1 = 0$ pour

x

$x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez

1

$1$ des deux côtés de l’équation.

\csc (x) = - 1

$\csc (x) = - 1$

Étape 3.2.2

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

x

$x$ de l’intérieur de la cosécante.

x = arccsc (- 1)

$x = arccsc (- 1)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

La valeur exacte de

arccsc (- 1)

$arccsc (- 1)$ est

- \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2}$ .

x = - \frac{π}{2}

$x = - \frac{π}{2}$

x = - \frac{π}{2}

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from

2 π

$2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to

π

$π$ to find the solution in the third quadrant.

x = 2 π + \frac{π}{2} + π

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.1

Soustrayez

2 π

$2 π$ de

2 π + \frac{π}{2} + π

$2 π + \frac{π}{2} + π$ .

x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 3.2.5.2

L’angle résultant de

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à

2 π

$2 π$ et coterminal avec

2 π + \frac{π}{2} + π

$2 π + \frac{π}{2} + π$ .

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de

\csc (x)

$\csc (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez

b

$b$ par

1

$1$ dans la formule pour la période.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

1

$1$ est

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.6.4

Divisez

2 π

$2 π$ par

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Étape 3.2.7

Ajoutez

2 π

$2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 3.2.7.1

Ajoutez

2 π

$2 π$ à

- \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

- \frac{π}{2} + 2 π

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 3.2.7.2

Pour écrire

2 π

$2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.7.3

Associez les fractions.

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Étape 3.2.7.3.1

Associez

2 π

$2 π$ et

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.2.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.7.4.1

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

\frac{4 π - π}{2}

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 3.2.7.4.2

Soustrayez

π

$π$ de

4 π

$4 π$ .

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$

Étape 3.2.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.2.8

La période de la fonction

\csc (x)

$\csc (x)$ est

2 π

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

2 π

$2 π$ radians dans les deux sens.

x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

(\cot (x) + 1) (\csc (x) + 1) = 0

$(\cot (x) + 1) (\csc (x) + 1) = 0$ vraie.

x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 5

Consolidez

\frac{3 π}{4} + π n

$\frac{3 π}{4} + π n$ et

\frac{7 π}{4} + π n

$\frac{7 π}{4} + π n$ en

\frac{3 π}{4} + π n

$\frac{3 π}{4} + π n$ .

x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$