Pré-calcul Exemples

$\cos (\frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{x}{2} = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{3 π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{3 π}{4}$

Étape 4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{3 π}{4}$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \frac{3 π}{4}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = 2 \frac{3 π}{2 (2)}$

Étape 4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 5

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{3 π}{4})$

Étape 6.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{3 π}{4})$

Étape 6.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (2 π - \frac{3 π}{4})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Simplifiez $2 (2 π - \frac{3 π}{4})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4})$

Étape 6.2.2.1.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4})$

Étape 6.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Étape 6.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{2 (2)}$

Étape 6.2.2.1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 6.2.2.1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{2}$

Étape 6.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{2}$

Étape 6.2.2.1.3.2

Soustrayez $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{2}$

Étape 7

Déterminez la période de $\cos (\frac{x}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 7.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 7.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 8

La période de la fonction $\cos (\frac{x}{2})$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 4 π n, \frac{5 π}{2} + 4 π n$ , pour tout entier $n$