Pré-calcul Exemples

$4 \sin^{2} (x) + 11 \sin (x) + 7 = 0$

Étape 1

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 7 = 28$ et dont la somme est $b = 11$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Factorisez $11$ à partir de $11 \sin (x)$ .

$4 \sin^{2} (x) + 11 \sin (x) + 7 = 0$

Étape 1.1.2

Réécrivez $11$ comme $4$ plus $7$

$4 \sin^{2} (x) + (4 + 7) \sin (x) + 7 = 0$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 7 \sin (x) + 7 = 0$

Étape 1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 7 \sin (x) + 7 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$4 \sin (x) (\sin (x) + 1) + 7 (\sin (x) + 1) = 0$

Étape 1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $\sin (x) + 1$ .

$(\sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 7) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

$4 \sin (x) + 7 = 0$

Étape 3

Définissez $\sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez $\sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = - 1$

Étape 3.2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.4

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 3.2.5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.7

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.7.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 3.2.7.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.7.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.7.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.2.7.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.7.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 3.2.7.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 3.2.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $4 \sin (x) + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $4 \sin (x) + 7$ égal à $0$ .

$4 \sin (x) + 7 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $4 \sin (x) + 7 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$4 \sin (x) = - 7$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $4 \sin (x) = - 7$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 \sin (x) = - 7$ par $4$ .

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{- 7}{4}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{- 7}{4}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 7}{4}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{7}{4}$

Étape 4.2.3

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- \frac{7}{4}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 7) = 0$ vraie.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$