Pré-calcul Exemples

$x^{4} - 2 x^{3} + 10 x^{2} - 50 x - 375 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Regroupez les termes.

$- 2 x^{3} + 10 x^{2} + x^{4} - 50 x - 375 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $- 2 x^{2}$ à partir de $- 2 x^{3} + 10 x^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $- 2 x^{2}$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{2} x + 10 x^{2} + x^{4} - 50 x - 375 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $- 2 x^{2}$ à partir de $10 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 5 + x^{4} - 50 x - 375 = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $- 2 x^{2}$ à partir de $- 2 x^{2} (x) - 2 x^{2} (- 5)$ .

$- 2 x^{2} (x - 5) + x^{4} - 50 x - 375 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $x^{4} - 50 x - 375$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.3.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 375, \pm 3, \pm 125, \pm 5, \pm 75, \pm 15, \pm 25$

$q = \pm 1$

Étape 1.3.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 375, \pm 3, \pm 125, \pm 5, \pm 75, \pm 15, \pm 25$

Étape 1.3.3

Remplacez $5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $5$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.3.1

Remplacez $5$ dans le polynôme.

$5^{4} - 50 \cdot 5 - 375$

Étape 1.3.3.2

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$625 - 50 \cdot 5 - 375$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $- 50$ par $5$ .

$625 - 250 - 375$

Étape 1.3.3.4

Soustrayez $250$ de $625$ .

$375 - 375$

Étape 1.3.3.5

Soustrayez $375$ de $375$ .

$0$

Étape 1.3.4

Comme $5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 5$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - 50 x - 375}{x - 5}$

Étape 1.3.5

Divisez $x^{4} - 50 x - 375$ par $x - 5$ .

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Étape 1.3.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

Étape 1.3.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

Étape 1.3.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

Étape 1.3.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} - 5 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

Étape 1.3.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

Étape 1.3.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 1.3.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 1.3.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

Étape 1.3.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x^{3} - 25 x^{2}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

Étape 1.3.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

Étape 1.3.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$50 x$

Étape 1.3.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $25 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$50 x$

Étape 1.3.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$50 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

Étape 1.3.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $25 x^{2} - 125 x$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$50 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

Étape 1.3.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$50 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$75 x$

Étape 1.3.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$50 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$75 x$

$375$

Étape 1.3.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $75 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$75$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$50 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$75 x$

$375$

Étape 1.3.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$75$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$50 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$75 x$

$375$

$75 x$

$375$

Étape 1.3.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $75 x - 375$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$75$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$50 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$75 x$

$375$

$75 x$

$375$

Étape 1.3.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$75$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$50 x$

$375$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$50 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$75 x$

$375$

$75 x$

$375$

$0$

Étape 1.3.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 75$

Étape 1.3.6

Écrivez $x^{4} - 50 x - 375$ comme un ensemble de facteurs.

$- 2 x^{2} (x - 5) + (x - 5) (x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 75) = 0$

Étape 1.4

Factorisez $x - 5$ à partir de $- 2 x^{2} (x - 5) + (x - 5) (x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 75)$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $x - 5$ à partir de $- 2 x^{2} (x - 5)$ .

$(x - 5) (- 2 x^{2}) + (x - 5) (x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 75) = 0$

Étape 1.4.2

Factorisez $x - 5$ à partir de $(x - 5) (- 2 x^{2}) + (x - 5) (x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 75)$ .

$(x - 5) (- 2 x^{2} + x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 75) = 0$

Étape 1.5

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $5 x^{2}$ .

$(x - 5) (x^{3} + 3 x^{2} + 25 x + 75) = 0$

Étape 1.6

Factorisez.

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Étape 1.6.1

Réécrivez $x^{3} + 3 x^{2} + 25 x + 75$ en forme factorisée.

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Étape 1.6.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.6.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 5) ((x^{3} + 3 x^{2}) + 25 x + 75) = 0$

Étape 1.6.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 5) (x^{2} (x + 3) + 25 (x + 3)) = 0$

Étape 1.6.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 3$ .

$(x - 5) ((x + 3) (x^{2} + 25)) = 0$

Étape 1.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 5) (x + 3) (x^{2} + 25) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

$x^{2} + 25 = 0$

Étape 3

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 3.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 4

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 5

Définissez $x^{2} + 25$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x^{2} + 25$ égal à $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x^{2} + 25 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 25$

Étape 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

Étape 5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 25}$ .

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez $- 25$ comme $- 1 (25)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (25)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

Étape 5.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

Étape 5.2.3.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

Étape 5.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 5$

Étape 5.2.3.6

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 5 i$

Étape 5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 5 i$

Étape 5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 5 i$

Étape 5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 5 i, - 5 i$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x + 3) (x^{2} + 25) = 0$ vraie.

$x = 5, - 3, 5 i, - 5 i$