Pré-calcul Exemples

$2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez $2 \log_{4} (x + 4)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) - \log_{4} (x + 12) = 1$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}) = 1$

Étape 3

Réécrivez $\log_{4} (\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

${(x + 4)}^{2} = 4 (x + 12)$

Étape 5

Simplifiez $4 (x + 12)$ .

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

${(x + 4)}^{2} = 4 x + 4 \cdot 12$

Étape 5.2

Multipliez $4$ par $12$ .

${(x + 4)}^{2} = 4 x + 48$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

${(x + 4)}^{2} - 4 x = 48$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Réécrivez ${(x + 4)}^{2}$ comme $(x + 4) (x + 4)$ .

$(x + 4) (x + 4) - 4 x = 48$

Étape 6.2.2

Développez $(x + 4) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x + 4) + 4 (x + 4) - 4 x = 48$

Étape 6.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4) - 4 x = 48$

Étape 6.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

Étape 6.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

Étape 6.2.3.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

Étape 6.2.3.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$x^{2} + 4 x + 4 x + 16 - 4 x = 48$

Étape 6.2.3.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$x^{2} + 8 x + 16 - 4 x = 48$

Étape 6.3

Soustrayez $4 x$ de $8 x$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 48$

Étape 7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 4 x = 48 - 16$

Étape 7.2

Soustrayez $16$ de $48$ .

$x^{2} + 4 x = 32$

Étape 8

Soustrayez $32$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

Étape 9

Factorisez $x^{2} + 4 x - 32$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 32$ et dont la somme est $4$ .

$- 4, 8$

Étape 9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Étape 11

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 12

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Étape 12.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x + 8) = 0$ vraie.

$x = 4, - 8$

Étape 14

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$ vrai.

$x = 4$