Pré-calcul Exemples

$2 e^{2 x} + 5 e^{x} - 3 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $e^{2 x}$ comme ${(e^{x})}^{2}$ .

$2 {(e^{x})}^{2} + 5 e^{x} - 3 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = e^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $e^{x}$ par $u$ .

$2 u^{2} + 5 u - 3 = 0$

Étape 1.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 u$ .

$2 u^{2} + 5 (u) - 3 = 0$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 1$ plus $6$

$2 u^{2} + (- 1 + 6) u - 3 = 0$

Étape 1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} - 1 u + 6 u - 3 = 0$

Étape 1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 u^{2} - 1 u) + 6 u - 3 = 0$

Étape 1.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (2 u - 1) + 3 (2 u - 1) = 0$

Étape 1.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 3) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x}$ .

$(2 e^{x} - 1) (e^{x} + 3) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

$e^{x} + 3 = 0$

Étape 3

Définissez $2 e^{x} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $2 e^{x} - 1$ égal à $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $2 e^{x} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 e^{x} = 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 e^{x} = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 e^{x} = 1$ par $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $e^{x}$ par $1$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Étape 3.2.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.2.4.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Étape 3.2.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Étape 3.2.4.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Étape 4

Définissez $e^{x} + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $e^{x} + 3$ égal à $0$ .

$e^{x} + 3 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $e^{x} + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$e^{x} = - 3$

Étape 4.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 3)$

Étape 4.2.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 3)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 4.2.4

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = - 3$

Aucune solution

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 e^{x} - 1) (e^{x} + 3) = 0$ vraie.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Forme décimale :

$x = - 0.69314718 \dots$