Pré-calcul Exemples

$3 \sin^{2} (x) - 8 \sin (x) - 3 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin (x)$ par $u$ .

$3 u^{2} - 8 u - 3 = 0$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ et dont la somme est $b = - 8$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $- 8$ à partir de $- 8 u$ .

$3 u^{2} - 8 u - 3 = 0$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $- 8$ comme $1$ plus $- 9$

$3 u^{2} + (1 - 9) u - 3 = 0$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 u^{2} + 1 u - 9 u - 3 = 0$

Étape 1.2.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$3 u^{2} + u - 9 u - 3 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 u^{2} + u) - 9 u - 3 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (3 u + 1) - 3 (3 u + 1) = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (u - 3) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 3) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 3 = 0$

Étape 3

Définissez $3 \sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $3 \sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$3 \sin (x) + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $3 \sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 \sin (x) = - 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 \sin (x) = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 \sin (x) = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{3}$

Étape 3.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{3})$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.1

Évaluez $\arcsin (- \frac{1}{3})$ .

$x = - 0.3398369$

Étape 3.2.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$

Étape 3.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.2.6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265 - 2 π$

Étape 3.2.6.2

L’angle résultant de $3.48142956$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$ .

$x = 3.48142956$

Étape 3.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.8

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 3.2.8.1

Ajoutez $2 π$ à $- 0.3398369$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.3398369 + 2 π$

Étape 3.2.8.2

Soustrayez $0.3398369$ de $2 π$ .

$5.94334839$

Étape 3.2.8.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 5.94334839$

Étape 3.2.9

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 3.48142956 + 2 π n, 5.94334839 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\sin (x) - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\sin (x) - 3$ égal à $0$ .

$\sin (x) - 3 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\sin (x) - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = 3$

Étape 4.2.2

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $3$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 3) = 0$ vraie.

$x = 3.48142956 + 2 π n, 5.94334839 + 2 π n$ , pour tout entier $n$