Pré-calcul Exemples

$2 + 13 \sin (x) = 14 \cos^{2} (x)$

Étape 1

Soustrayez $14 \cos^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$2 + 13 \sin (x) - 14 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2

Remplacez le $- 14 \cos^{2} (x)$ par $- 14 (1 - \sin^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 + 13 \sin (x) - 14 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 + 13 \sin (x) - 14 \cdot 1 - 14 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.2

Multipliez $- 14$ par $1$ .

$2 + 13 \sin (x) - 14 - 14 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $- 14$ .

$2 + 13 \sin (x) - 14 + 14 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 4

Soustrayez $14$ de $2$ .

$13 \sin (x) - 12 + 14 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 5

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$14 \sin^{2} (x) + 13 \sin (x) - 12 = 0$

Étape 6

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$14 {(u)}^{2} + 13 (u) - 12 = 0$

Étape 7

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 14 \cdot - 12 = - 168$ et dont la somme est $b = 13$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $13$ à partir de $13 u$ .

$14 u^{2} + 13 u - 12 = 0$

Étape 7.1.2

Réécrivez $13$ comme $- 8$ plus $21$

$14 u^{2} + (- 8 + 21) u - 12 = 0$

Étape 7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$14 u^{2} - 8 u + 21 u - 12 = 0$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$14 u^{2} - 8 u + 21 u - 12 = 0$

Étape 7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 u (7 u - 4) + 3 (7 u - 4) = 0$

Étape 7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $7 u - 4$ .

$(7 u - 4) (2 u + 3) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$7 u - 4 = 0$

$2 u + 3 = 0$

Étape 9

Définissez $7 u - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 9.1

Définissez $7 u - 4$ égal à $0$ .

$7 u - 4 = 0$

Étape 9.2

Résolvez $7 u - 4 = 0$ pour $u$ .

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Étape 9.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$7 u = 4$

Étape 9.2.2

Divisez chaque terme dans $7 u = 4$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 9.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 u = 4$ par $7$ .

$\frac{7 u}{7} = \frac{4}{7}$

Étape 9.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 9.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 u}{7} = \frac{4}{7}$

Étape 9.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{4}{7}$

Étape 10

Définissez $2 u + 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 10.1

Définissez $2 u + 3$ égal à $0$ .

$2 u + 3 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $2 u + 3 = 0$ pour $u$ .

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Étape 10.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 u = - 3$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $2 u = - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 u = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 3}{2}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{3}{2}$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(7 u - 4) (2 u + 3) = 0$ vraie.

$u = \frac{4}{7}, - \frac{3}{2}$

Étape 12

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{4}{7}, - \frac{3}{2}$

Étape 13

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{4}{7}$

$\sin (x) = - \frac{3}{2}$

Étape 14

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{4}{7}$ .

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Étape 14.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{4}{7})$

Étape 14.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{4}{7})$ .

$x = 0.60824557$

Étape 14.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 0.60824557$

Étape 14.4

Résolvez $x$ .

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Étape 14.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 0.60824557$

Étape 14.4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 0.60824557$

Étape 14.4.3

Soustrayez $0.60824557$ de $3.14159265$ .

$x = 2.53334707$

Étape 14.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 14.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 14.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 14.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 14.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 14.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.60824557 + 2 π n, 2.53334707 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{3}{2}$ .

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Étape 15.1

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- \frac{3}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 16

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.60824557 + 2 π n, 2.53334707 + 2 π n$ , pour tout entier $n$