Pré-calcul Exemples

$2 \ln (x) = \ln (3) + \ln (x + 6)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (x^{2}) = \ln (3) + \ln (x + 6)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Simplifiez $\ln (3) + \ln (x + 6)$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (3 (x + 6))$

Étape 2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x^{2}) = \ln (3 x + 3 \cdot 6)$

Étape 2.1.3

Multipliez $3$ par $6$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (3 x + 18)$

Étape 3

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{2} = 3 x + 18$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x = 18$

Étape 4.2

Soustrayez $18$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x - 18 = 0$

Étape 4.3

Factorisez $x^{2} - 3 x - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 6, 3$

Étape 4.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 6) (x + 3) = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 4.5

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 4.5.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 4.6

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 4.6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 6) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 6, - 3$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 \ln (x) = \ln (3) + \ln (x + 6)$ vrai.

$x = 6$