Pré-calcul Exemples

$27 = 3^{5 x} \cdot 9^{x^{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $3^{5 x} \cdot 9^{x^{2}} = 27$ .

$3^{5 x} \cdot 9^{x^{2}} = 27$

Étape 2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$3^{5 x} \cdot {(3^{2})}^{x^{2}} = 27$

Étape 3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{5 x} \cdot 3^{2 x^{2}} = 27$

Étape 4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3^{5 x + 2 x^{2}} = 27$

Étape 5

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$3^{5 x + 2 x^{2}} = 3^{3}$

Étape 6

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$5 x + 2 x^{2} = 3$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$5 x + 2 x^{2} - 3 = 0$

Étape 7.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$5 u + 2 u^{2} - 3 = 0$

Étape 7.2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.2.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 u^{2} + 5 u - 3 = 0$

Étape 7.2.2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 7.2.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 u$ .

$2 u^{2} + 5 (u) - 3 = 0$

Étape 7.2.2.2.2

Réécrivez $5$ comme $- 1$ plus $6$

$2 u^{2} + (- 1 + 6) u - 3 = 0$

Étape 7.2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} - 1 u + 6 u - 3 = 0$

Étape 7.2.2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.2.2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 u^{2} - 1 u) + 6 u - 3 = 0$

Étape 7.2.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (2 u - 1) + 3 (2 u - 1) = 0$

Étape 7.2.2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 3) = 0$

Étape 7.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$

Étape 7.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 7.4

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 7.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 7.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 7.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 1) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, - 3$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1}{2}, - 3$

Forme décimale :

$x = 0.5, - 3$