Pré-calcul Exemples

$4 = \sqrt{- 6 - 2 x} + \sqrt{31 - 3 x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{- 6 - 2 x} + \sqrt{31 - 3 x} = 4$ .

$\sqrt{- 6 - 2 x} + \sqrt{31 - 3 x} = 4$

Étape 2

Soustrayez $\sqrt{31 - 3 x}$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{- 6 - 2 x} = 4 - \sqrt{31 - 3 x}$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{- 6 - 2 x}}^{2} = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- 6 - 2 x}$ comme ${(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${({(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- 6 - 2 x)}^{1} = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez

$- 6 - 2 x = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez ${(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez ${(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$ comme $(4 - \sqrt{31 - 3 x}) (4 - \sqrt{31 - 3 x})$ .

$- 6 - 2 x = (4 - \sqrt{31 - 3 x}) (4 - \sqrt{31 - 3 x})$

Étape 4.3.1.2

Développez $(4 - \sqrt{31 - 3 x}) (4 - \sqrt{31 - 3 x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 6 - 2 x = 4 (4 - \sqrt{31 - 3 x}) - \sqrt{31 - 3 x} (4 - \sqrt{31 - 3 x})$

Étape 4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 6 - 2 x = 4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{31 - 3 x}) - \sqrt{31 - 3 x} (4 - \sqrt{31 - 3 x})$

Étape 4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 6 - 2 x = 4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{31 - 3 x}) - \sqrt{31 - 3 x} \cdot 4 - \sqrt{31 - 3 x} (- \sqrt{31 - 3 x})$

Étape 4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.3.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$- 6 - 2 x = 16 + 4 (- \sqrt{31 - 3 x}) - \sqrt{31 - 3 x} \cdot 4 - \sqrt{31 - 3 x} (- \sqrt{31 - 3 x})$

Étape 4.3.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - \sqrt{31 - 3 x} \cdot 4 - \sqrt{31 - 3 x} (- \sqrt{31 - 3 x})$

Étape 4.3.1.3.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} - \sqrt{31 - 3 x} (- \sqrt{31 - 3 x})$

Étape 4.3.1.3.1.4

Multipliez $- \sqrt{31 - 3 x} (- \sqrt{31 - 3 x})$ .

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Étape 4.3.1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + 1 \sqrt{31 - 3 x} \sqrt{31 - 3 x}$

Étape 4.3.1.3.1.4.2

Multipliez $\sqrt{31 - 3 x}$ par $1$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + \sqrt{31 - 3 x} \sqrt{31 - 3 x}$

Étape 4.3.1.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{31 - 3 x}$ à la puissance $1$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {\sqrt{31 - 3 x}}^{1} \sqrt{31 - 3 x}$

Étape 4.3.1.3.1.4.4

Élevez $\sqrt{31 - 3 x}$ à la puissance $1$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {\sqrt{31 - 3 x}}^{1} {\sqrt{31 - 3 x}}^{1}$

Étape 4.3.1.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {\sqrt{31 - 3 x}}^{1 + 1}$

Étape 4.3.1.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {\sqrt{31 - 3 x}}^{2}$

Étape 4.3.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{31 - 3 x}}^{2}$ comme $31 - 3 x$ .

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Étape 4.3.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{31 - 3 x}$ comme ${(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {({(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 4.3.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 4.3.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {(31 - 3 x)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 4.3.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {(31 - 3 x)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 4.3.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {(31 - 3 x)}^{1}$

Étape 4.3.1.3.1.5.5

Simplifiez

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + 31 - 3 x$

Étape 4.3.1.3.2

Additionnez $16$ et $31$ .

$- 6 - 2 x = 47 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 3 x$

Étape 4.3.1.3.3

Soustrayez $4 \sqrt{31 - 3 x}$ de $- 4 \sqrt{31 - 3 x}$ .

$- 6 - 2 x = 47 - 8 \sqrt{31 - 3 x} - 3 x$

Étape 5

Résolvez $- 8 \sqrt{31 - 3 x}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $47 - 8 \sqrt{31 - 3 x} - 3 x = - 6 - 2 x$ .

$47 - 8 \sqrt{31 - 3 x} - 3 x = - 6 - 2 x$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- 8 \sqrt{31 - 3 x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $47$ des deux côtés de l’équation.

$- 8 \sqrt{31 - 3 x} - 3 x = - 6 - 2 x - 47$

Étape 5.2.2

Ajoutez $3 x$ aux deux côtés de l’équation.

$- 8 \sqrt{31 - 3 x} = - 6 - 2 x - 47 + 3 x$

Étape 5.2.3

Soustrayez $47$ de $- 6$ .

$- 8 \sqrt{31 - 3 x} = - 2 x - 53 + 3 x$

Étape 5.2.4

Additionnez $- 2 x$ et $3 x$ .

$- 8 \sqrt{31 - 3 x} = x - 53$

Étape 6

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 8 \sqrt{31 - 3 x})}^{2} = {(x - 53)}^{2}$

Étape 7

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{31 - 3 x}$ comme ${(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 8 {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 53)}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Simplifiez ${(- 8 {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 8 {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 8)}^{2} {({(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 53)}^{2}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$64 {({(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 53)}^{2}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 53)}^{2}$

Étape 7.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$64 {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 53)}^{2}$

Étape 7.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$64 {(31 - 3 x)}^{1} = {(x - 53)}^{2}$

Étape 7.2.1.4

Simplifiez

$64 (31 - 3 x) = {(x - 53)}^{2}$

Étape 7.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$64 \cdot 31 + 64 (- 3 x) = {(x - 53)}^{2}$

Étape 7.2.1.6

Multipliez.

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Étape 7.2.1.6.1

Multipliez $64$ par $31$ .

$1984 + 64 (- 3 x) = {(x - 53)}^{2}$

Étape 7.2.1.6.2

Multipliez $- 3$ par $64$ .

$1984 - 192 x = {(x - 53)}^{2}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez ${(x - 53)}^{2}$ .

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Étape 7.3.1.1

Réécrivez ${(x - 53)}^{2}$ comme $(x - 53) (x - 53)$ .

$1984 - 192 x = (x - 53) (x - 53)$

Étape 7.3.1.2

Développez $(x - 53) (x - 53)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$1984 - 192 x = x (x - 53) - 53 (x - 53)$

Étape 7.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$1984 - 192 x = x \cdot x + x \cdot - 53 - 53 (x - 53)$

Étape 7.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$1984 - 192 x = x \cdot x + x \cdot - 53 - 53 x - 53 \cdot - 53$

Étape 7.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$1984 - 192 x = x^{2} + x \cdot - 53 - 53 x - 53 \cdot - 53$

Étape 7.3.1.3.1.2

Déplacez $- 53$ à gauche de $x$ .

$1984 - 192 x = x^{2} - 53 \cdot x - 53 x - 53 \cdot - 53$

Étape 7.3.1.3.1.3

Multipliez $- 53$ par $- 53$ .

$1984 - 192 x = x^{2} - 53 x - 53 x + 2809$

Étape 7.3.1.3.2

Soustrayez $53 x$ de $- 53 x$ .

$1984 - 192 x = x^{2} - 106 x + 2809$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} - 106 x + 2809 = 1984 - 192 x$

Étape 8.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 8.2.1

Ajoutez $192 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 106 x + 2809 + 192 x = 1984$

Étape 8.2.2

Additionnez $- 106 x$ et $192 x$ .

$x^{2} + 86 x + 2809 = 1984$

Étape 8.3

Soustrayez $1984$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 86 x + 2809 - 1984 = 0$

Étape 8.4

Soustrayez $1984$ de $2809$ .

$x^{2} + 86 x + 825 = 0$

Étape 8.5

Factorisez $x^{2} + 86 x + 825$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $825$ et dont la somme est $86$ .

$11, 75$

Étape 8.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 11) (x + 75) = 0$

Étape 8.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 11 = 0$

$x + 75 = 0$

Étape 8.7

Définissez $x + 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.7.1

Définissez $x + 11$ égal à $0$ .

$x + 11 = 0$

Étape 8.7.2

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 11$

Étape 8.8

Définissez $x + 75$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.8.1

Définissez $x + 75$ égal à $0$ .

$x + 75 = 0$

Étape 8.8.2

Soustrayez $75$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 75$

Étape 8.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 11) (x + 75) = 0$ vraie.

$x = - 11, - 75$

Étape 9

Excluez les solutions qui ne rendent pas $4 = \sqrt{- 6 - 2 x} + \sqrt{31 - 3 x}$ vrai.

$Aucune solution$