Pré-calcul Exemples

$e^{x - 1} = {(\frac{1}{e^{2}})}^{x + 5}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x - 1}) = \ln ({(\frac{1}{e^{2}})}^{x + 5})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Développez $\ln (e^{x - 1})$ en déplaçant $x - 1$ hors du logarithme.

$(x - 1) \ln (e) = \ln ({(\frac{1}{e^{2}})}^{x + 5})$

Étape 2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(x - 1) \cdot 1 = \ln ({(\frac{1}{e^{2}})}^{x + 5})$

Étape 2.3

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$x - 1 = \ln ({(\frac{1}{e^{2}})}^{x + 5})$

Étape 3

Développez le côté droit.

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Étape 3.1

Développez $\ln ({(\frac{1}{e^{2}})}^{x + 5})$ en déplaçant $x + 5$ hors du logarithme.

$x - 1 = (x + 5) \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (\frac{1}{e^{2}})$ comme $\ln (1) - \ln (e^{2})$ .

$x - 1 = (x + 5) (\ln (1) - \ln (e^{2}))$

Étape 3.3

Développez $\ln (e^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$x - 1 = (x + 5) (\ln (1) - (2 \ln (e)))$

Étape 3.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x - 1 = (x + 5) (0 - (2 \ln (e)))$

Étape 3.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x - 1 = (x + 5) (0 - (2 \cdot 1))$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$x - 1 = (x + 5) (0 - 1 \cdot 2)$

Étape 3.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x - 1 = (x + 5) (0 - 2)$

Étape 3.8

Soustrayez $2$ de $0$ .

$x - 1 = (x + 5) \cdot - 2$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Simplifiez $(x + 5) \cdot - 2$ .

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x - 1 = x \cdot - 2 + 5 \cdot - 2$

Étape 4.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.1

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$x - 1 = - 2 \cdot x + 5 \cdot - 2$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$x - 1 = - 2 x - 10$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x - 1 + 2 x = - 10$

Étape 5.2

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$3 x - 1 = - 10$

Étape 6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = - 10 + 1$

Étape 6.2

Additionnez $- 10$ et $1$ .

$3 x = - 9$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $3 x = - 9$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 9$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 9}{3}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 9}{3}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 9}{3}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $- 9$ par $3$ .

$x = - 3$