Pré-calcul Exemples

$\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1}) = \log_{2} (3)$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1^{2}}) = \log_{2} (3)$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)}) = \log_{2} (3)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$(x + 1) (x - 1), 1$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$(x + 1) (x - 1)$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ par $(x + 1) (x - 1)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ par $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $(x + 1) (x - 1)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$8 x = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 x = 3 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Étape 3.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Étape 3.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 3.2.3.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 3.2.3.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$8 x = 3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 3.2.3.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$8 x = 3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Étape 3.2.3.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$8 x = 3 (x^{2} - x + x - 1)$

Étape 3.2.3.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} + 0 - 1)$

Étape 3.2.3.2.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$8 x = 3 (x^{2} - 1)$

Étape 3.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 x = 3 x^{2} + 3 \cdot - 1$

Étape 3.2.3.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$8 x = 3 x^{2} - 3$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$8 x - 3 x^{2} = - 3$

Étape 3.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$8 x - 3 x^{2} + 3 = 0$

Étape 3.3.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $8 x - 3 x^{2} + 3$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Remettez dans l’ordre $8 x$ et $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 8 x + 3 = 0$

Étape 3.3.3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 8 x + 3 = 0$

Étape 3.3.3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $8 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) + 3 = 0$

Étape 3.3.3.1.4

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 3.3.3.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (- 8 x)$ .

$- (3 x^{2} - 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 3.3.3.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} - 8 x) - 1 (- 3)$ .

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

Étape 3.3.3.2

Factorisez.

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Étape 3.3.3.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.3.3.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ et dont la somme est $b = - 8$ .

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Étape 3.3.3.2.1.1.1

Factorisez $- 8$ à partir de $- 8 x$ .

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

Étape 3.3.3.2.1.1.2

Réécrivez $- 8$ comme $1$ plus $- 9$

$- (3 x^{2} + (1 - 9) x - 3) = 0$

Étape 3.3.3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (3 x^{2} + 1 x - 9 x - 3) = 0$

Étape 3.3.3.2.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$- (3 x^{2} + x - 9 x - 3) = 0$

Étape 3.3.3.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.3.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((3 x^{2} + x) - 9 x - 3) = 0$

Étape 3.3.3.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (x (3 x + 1) - 3 (3 x + 1)) = 0$

Étape 3.3.3.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 1$ .

$- ((3 x + 1) (x - 3)) = 0$

Étape 3.3.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (3 x + 1) (x - 3) = 0$

Étape 3.3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 3.3.5

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.5.1

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Étape 3.3.5.2

Résolvez $3 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 1$

Étape 3.3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.3.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.3.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 3.3.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.3.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 3.3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (3 x + 1) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{3}, 3$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$ vrai.

$x = 3$