Pré-calcul Exemples

$\log_{2} (x - 1) - \log_{2} (x + 3) = \log_{2} (\frac{1}{x})$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x - 1}{x + 3}) = \log_{2} (\frac{1}{x})$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$\frac{x - 1}{x + 3} = \frac{1}{x}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction. Définissez une valeur égale au produit du dénominateur de la première fraction et du numérateur de la deuxième fraction.

$(x - 1) x = (x + 3) \cdot 1$

Étape 3.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Simplifiez $(x - 1) x$ .

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (x - 1) x = (x + 3) \cdot 1$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(x - 1) x = (x + 3) \cdot 1$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x - 1 x = (x + 3) \cdot 1$

Étape 3.2.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.4.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - 1 x = (x + 3) \cdot 1$

Étape 3.2.1.4.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x = (x + 3) \cdot 1$

Étape 3.2.2

Multipliez $x + 3$ par $1$ .

$x^{2} - x = x + 3$

Étape 3.2.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - x - x = 3$

Étape 3.2.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$x^{2} - 2 x = 3$

Étape 3.2.4

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Étape 3.2.5

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 3.2.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Étape 3.2.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 3.2.7

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.7.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.2.7.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 3.2.8

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.8.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.2.8.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.2.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 3, - 1$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{2} (x - 1) - \log_{2} (x + 3) = \log_{2} (\frac{1}{x})$ vrai.

$x = 3$