Pré-calcul Exemples

$\log_{4} (x^{2} + 3 x) - \log_{4} (x + 5) = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} + 3 x}{x + 5}) = 1$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 3 x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + 3 x}{x + 5}) = 1$

Étape 1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + x \cdot 3}{x + 5}) = 1$

Étape 1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$\log_{4} (\frac{x (x + 3)}{x + 5}) = 1$

Étape 2

Réécrivez $\log_{4} (\frac{x (x + 3)}{x + 5}) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{x (x + 3)}{x + 5}$

Étape 3

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x (x + 3) = 4 (x + 5)$

Étape 4

Simplifiez $4 (x + 5)$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x + 3) = 4 x + 4 \cdot 5$

Étape 4.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$x (x + 3) = 4 x + 20$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$x (x + 3) - 4 x = 20$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 3 - 4 x = 20$

Étape 5.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 - 4 x = 20$

Étape 5.2.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 3 x - 4 x = 20$

Étape 5.3

Soustrayez $4 x$ de $3 x$ .

$x^{2} - x = 20$

Étape 6

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 20$

Étape 6.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 20$

Étape 6.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 20$

Étape 7

Simplifiez $x (x - 1)$ .

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Étape 7.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 20$

Étape 7.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 = 20$

Étape 7.1.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x = 20$

Étape 7.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x = 20$

Étape 8

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - x - 20 = 0$

Étape 9

Factorisez $x^{2} - x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 5, 4$

Étape 9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 11

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 12

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 12.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 5, - 4$