Pré-calcul Exemples

$\log_{x} (\frac{1}{27}) = 3$

Étape 1

Réécrivez $\log_{x} (\frac{1}{27}) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$x^{3} = \frac{1}{27}$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $\frac{1}{27}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - \frac{1}{27} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{27}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{3}$ .

$x^{3} - {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

Étape 2.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = \frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + x (\frac{1}{3}) + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Étape 2.2.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

Étape 2.2.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

Étape 2.2.3.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - \frac{1}{3} = 0$

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - \frac{1}{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - \frac{1}{3}$ égal à $0$ .

$x - \frac{1}{3} = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $\frac{1}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{1}{3}$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$ égal à $0$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $9$ , puis simplifiez.

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Étape 2.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 x^{2} + 9 (\frac{x}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Étape 2.5.2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.5.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.2.1.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$9 x^{2} + 3 (3) (\frac{x}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Étape 2.5.2.1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$9 x^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{x}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Étape 2.5.2.1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$9 x^{2} + 3 x + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Étape 2.5.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.5.2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$9 x^{2} + 3 x + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Étape 2.5.2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$9 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Étape 2.5.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.3

Remplacez les valeurs $a = 9$ , $b = 3$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez

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Étape 2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

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Étape 2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.5.2.4.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.5.2.4.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.5.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.5.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.5.2.4.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.2.4.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.5.2.4.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.5.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Étape 2.5.2.4.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Étape 2.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.5.2.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$