Pré-calcul Exemples

$\log_{9} (x + 6) + \log_{9} (x + 3) = 2$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} ((x + 6) (x + 3)) = 2$

Étape 1.2

Développez $(x + 6) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{9} (x (x + 3) + 6 (x + 3)) = 2$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{9} (x \cdot x + x \cdot 3 + 6 (x + 3)) = 2$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{9} (x \cdot x + x \cdot 3 + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{9} (x^{2} + x \cdot 3 + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\log_{9} (x^{2} + 3 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $6$ par $3$ .

$\log_{9} (x^{2} + 3 x + 6 x + 18) = 2$

Étape 1.3.2

Additionnez $3 x$ et $6 x$ .

$\log_{9} (x^{2} + 9 x + 18) = 2$

Étape 2

Réécrivez $\log_{9} (x^{2} + 9 x + 18) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$9^{2} = x^{2} + 9 x + 18$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} + 9 x + 18 = 9^{2}$ .

$x^{2} + 9 x + 18 = 9^{2}$

Étape 3.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + 9 x + 18 = 81$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $81$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 9 x + 18 - 81 = 0$

Étape 3.3.2

Soustrayez $81$ de $18$ .

$x^{2} + 9 x - 63 = 0$

Étape 3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 9$ et $c = - 63$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 63)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 63$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 63$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 252}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.3

Additionnez $81$ et $252$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{333}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.4

Réécrivez $333$ comme $3^{2} \cdot 37$ .

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Étape 3.6.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $333$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{9 (37)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 9 \pm 3 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm 3 \sqrt{37}}{2}$

Étape 3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}, - \frac{9 + 3 \sqrt{37}}{2}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{9} (x + 6) + \log_{9} (x + 3) = 2$ vrai.

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}$

Forme décimale :

$x = 4.62414379 \dots$